Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Индурайн Франсиско Хосе

₅

^ij

(q^2)

=

i(m

_i

+m

_j

)^2

d

⁴

x e

^iq·x

TJ

₅

^ij

(x)J

₅

^ij

(0)

⁺

_vac

,

(32.1)

где ток J⁵ имеет вид

J

₅

^ij

q

_i

₅

q

_j

.

Во

всех порядках теорий возмущений функция

F

_ij

(Q^2)

=

^2

(q^2)^2

₅

^ij

(q^2) ,

Q^2=-q^2 ,

в пределе Q^2-> обращается в нуль. Следовательно, можно записать без каких-либо вычитаний следующее дисперсионное соотношение:

F

_ij

(Q^2)

=

2

 

₀

dt

Im

₅

^ij

(t)

(t+Q^2)^3

.

(32.2)

Левую часть этого равенства при больших значениях Q^2 можно вычислить в рамках квантовой хромодинамики. Но при этом необходимо соблюдать осторожность: недостаточно сохранить только ведущий член операторного разложения для произведения токов TJ⁵J⁵⁺, вклад операторов qq, xqq и G^2=_aG_aG_a также оказывается важным. Проводя вычисления в двухпетлевом приближении и помня о том, что операторы _sG^2 и mqq в рассматриваемом порядке теории возмущений являются ренорминвариантными величинами, получаем

F

_ij

(Q^2)

=

3

8^2

·

[m_i(Q^2)+m_j(Q^2)]^2

Q^2

x

1+O

m^2

Q^2

+

11

3

·

_s(Q^2)

+

2

3

·

_sG^2

Q⁴

–

16²

3Q⁴

m

_j

–

m_i

2

q

_i

q

_i

+

m

_i

–

m_j

2

q

_j

q

_j

.

Вклады операторов qq и G^2 оцениваются с учетом непертурбативных частей кваркового и глюонного пропагаторов (см. § 35, 36, где подробно рассмотрен пример вычислений). Вклады оператора mqq можно оценить, используя формулы (31.4) и (31.5); по-видимому, эти вклады имеют величину O(m^2/Q^2) и оказываются пренебрежимо

малыми. Таким образом, получаем

F

_ij

(Q^2)

=

3

8^2

·

[m_i(Q^2)+m_j(Q^2)]^2

Q^2

x

1+

11

3

·

_s(Q^2)

+

2

3Q⁴

_s

G^2

.

(32.3)

Обратимся теперь к правой части равенства (32.2). Вклад пионного (для ij=ud) или каонного (для ij=us,sd) резонанса можно получить непосредственно; в случае пионов находим

2

 

₀

dt

Im ⁵(t)

(t+Q^2)^3

=

4f

₂

m

₄

1

(m

₂

+Q^2)^3

+

2

 

 

_9m²

dt

Im ⁵(t)

(t+Q^2)^3

.

(32.4)

Здесь важно, что Im ⁵(t)>=0; отсюда немедленно следует неравенство, связывающее величины m_u+m_d и m,f,_sG^2 :

[

m

_u

(Q^2)+

m

_d

(Q^2)]^2

>=

32^2f

₂

m

₄

3(m

₂

+Q^2)^3

x

1+

11

3

·

_s(Q^2)

+

2

3Q⁴

_s

G^2

^{– 1}

.

(32.5)

Это ограничение не слишком хорошее, так как мы теряем значительную часть информации. Его можно улучшить, рассмотрев N-ю производную от величины F(Q^2) и оптимизируя ее по переменным N и Q². Детальное изложение можно найти в работе [34]. В результате получаем

m

_u

+m

_d

>=

2

3

1/2

·

8m

₂

f

₂

3G^2 ^1/2

{1±} ,

(32.6)

где - поправка~25%. Если использовать значение вакуумного среднего _sG^2₀ , полученное из спектроскопии чармония [229, 230] или в вычислениях на решетке [96], то получим такие численные оценки: