Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Индурайн Франсиско Хосе

L

_R

 

=

Z

_{– 1}

 

i

 

– Z

_{– 1}

Z

 

m

 

 

+Z

_{– 1}

 

 

^u

^u

^m

^u

^u

^u

 

^u

+

Z

 

Z

_{– 1}

Z

_{– 1/2}

g

 

 

 

,

^g

^u

^u

^u

(8.5)

откуда

заключаем, что .лагранжиан взаимодействия, определяемый как разность L_int=L-L_free в действительности имеет вид

L

_R0

^int

=

:g

₀

₀

₀

+(Z

_1/2

Z

_{– 1}

Z

_{– 1/2}

– 1)g

₀

₀

₀

^u

^u

^u

^g

^u

^u

^u

+

(Z

_{– 1}

– 1)

₀

i

₀

– (Z

_{– 1}

Z

 

– 1)m

₀

₀

^u

^u

^m

^u

^u

+

(Z

_{– 1}

– 1)

 

₀

₀

:,

^u

 

^u

(8.6)

где ⁰_u

и ⁰_u– свободные поля, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям. Члены, содержащие множители (Z … — 1), называются контрчленами. Очевидно, что разложение этих членов в ряд по степеням константы связи g должно начинаться с единицы, так как при значении g=0 все перенормировочные множители Z равны единице. Поэтому перенормировочные множители можно представить в виде ряда

 

 

Z

_j

=1+

C

_(n)

(

g

²

)

ⁿ

,

^j

16

²

 

 

ⁿ⁼¹

(8.7)

где коэффициенты C⁽ⁿ⁾_j имеют конечное разложение в ряд Лорана в окрестности точки =0 (т.е. имеют вид ⁿ_k=0 a⁽ⁿ⁾_k ^{– k} +O). Существует и другой способ проследить за возникновением контрчленов [45]. Из выражения (8.2) для S-матрицы видно, что вследствие сингулярного характера входящих в него полей хронологическое произведение

L

₀

(x)

₁

… L

₀

(x

_n

)

^int

^int

(8.8 а)

не определено при совпадающих аргументах x_i=x_j. Следовательно, к каждому члену разложения (8.2), имеющему вид (8.8а), можно добавить произвольное слагаемое вида

p(x

₁

– x

₂

) … (x

_i

– x

_j

) … (x

_n-1

– x

_n

) ,

(8.8 б)

где символ p обозначает выражение, полиномиальное по оператору дифференцирования. Отсюда видно, что члены (8.8 6) соответствуют контрчленам.

Насколько произвольны значения коэффициентов Z? Одно из условий, определяющих их величину, состоит в требовании, чтобы лагранжиан L^R приводил к конечным ответам даже в пределе ->0. Но это не полностью фиксирует коэффициенты C⁽ⁿ⁾_j в выражении (8.6 б). Чтобы однозначным образом конкретизировать все перенормировочные множители Z, фигурирующие в теории, необходимо рассмотреть столько независимых амплитуд, сколько параметров должно быть определено.

Вернемся к лагранжиану КХД. Квантовая хромодинамика является калибровочной теорией поля, и, как мы видели, калибровочная инвариантность представляет собой необходимое условие того, чтобы эта теория имела смысл. Условие калибровочной инвариантности накладывает жесткие ограничения на допустимую структуру контрчленов: они должны быть калибровочно-инвариантными. Из выражения для лагранжиана L_QCD и выражения (5.11) видно, что единственными допустимыми изменениями являются замены¹¹⁾