Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Индурайн Франсиско Хосе

empty-line/>

([t

^c

,t

^a

]t

^c

)

_ij

+ g

²

(

t

^a

 

^c

t

^c

t

^c

)

_ij

=

g

²

t

_a

{

–

1

C

_A

+C

_F

}

.

^ij

2

(9.27

в)

При выводе этого выражения использованы формулы приложения В. Таким образом, окончательное выражение для вершины имеет вид

₍₂₎

^uij,a

_div

=

 

N

g

³

{

C

_A

+C

_F

}

it

_a

.

16

²

^ij

(9.28)

В перенормировке вершины участвуют множители Z_g, Z_F и Z_B:

V

=Z

_{– 1}

Z

_{– 1/2}

Z

 

V

.

^Rij,a

^F

^B

^g

^uij,a

(9.29)

Используя полученные выше выражения для перенормировочных множителей Z_F и Z_B и только что вычисленное значение расходящейся части вершины ⁽²⁾_u, получаем следующий результат для зарядового перенормировочного множителя:

Z

_g

=1-

_g

{

11C

_A

 -

2

T

_F

n

_f

}

N

.

4

6

3

(9.30)

Таким образом,

c

₍₁₎

= -

{

11

 -

n

_f

}

.

^g

2

3

Интересно проследить за сокращением членов, пропорциональных

множителю C_F. Такое сокращение обязательно должно иметь место в силу того, что зарядовый перенормировочный множитель Z_g можно вычислить в рамках чистой глюодинамики, не содержащей фермионов (см. ниже). Очевидно, что такое сокращение происходит благодаря калибровочной структуре теории, см. выражение (9.27в). В следующем порядке теории возмущений функция вычислена в работах [64, 179]. Вычисления коэффициента c⁽¹⁾_g были проведены Гроссом и Вильчеком [160] и Полицером [218], которые вместо кварк-глюонной вершины qqB использовали трехглюонную вершину. Такое вычисление связано с рассмотрением диаграмм рис. 8. Для этих же целей можно использовать вершину взаимодействия глюонов и духов B. Конечно, все способы рассмотрения приводят к одному и тому же результату, что является следствием калибровочной инвариантности теории.

Рис. 8. Трехглюонная вершина.

Следует отметить, что во всех порядках теории возмущений коэффициенты c⁽ⁿ⁾_g, вычисленные в схеме MS , калибровочно-инвариантны [65].

§10. Глобальные симметрии лагранжиана КХД; сохраняющиеся токи

В этом параграфе мы рассмотрим глобальные симметрии лагранжиана КХД. Поскольку процедура перенормировок не меняет структуры лагранжиана, можно пренебречь различием между затравочным и перенормированным лагранжианами.

Очевидно, что лагранжиан инвариантен по отношению к преобразованиям из группы Пуанкаре x->x+a. Токи, соответствующие лоренцевым преобразованиям (являющимся генераторами полного спина системы), для нас не представляют большого интереса. Согласно теореме Нётер, инвариантность лагранжиана относительно пространственно-временных сдвигов приводит к следующему выражению для тензора энергии-импульса:

=

 

ⁱ

L

(

_i

)

_i

– g

L ,

(10.1)

где суммирование по i проводится по всем полям, фигурирующим в лагранжиане КХД. Из тензора энергии-импульса можно построить токи, удовлетворяющие условию сохранения

= 0,

и соответствующие этим токам сохраняющиеся "заряды", представляющие собой компоненты 4-импульса

P

 

=

d

x

⁰

(x)

 

.

Явное выражение для тензора энергии-импульса в квантовой хромодинамике имеет вид^17a)

^17a) При квантовании теории произведение классических полей следует заменить на нормально упорядоченное произведение. Обсуждение вопроса о неоднозначности определения тензора энергии-импульса см. в работах [60, 74].