Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
N
=
t
b
– t
a
,
=
t
i+1
– t
i
,
t
0
=
t
a
, t
N
=t
b
,
x
0
=
x
a
, x
N
=x
b
.
(2.19)
В
K(b,a)~
…
[x(t)]dx
1
dx
2
…dx
N-1
.
(2.20)
Интегрирование не производится по x0 и xN, так как эти переменные совпадают с фиксированными концами траекторий xa и xb. Это выражение формально соответствует соотношению (2.17). Уменьшая , мы можем получить более полное представление множества всех возможных траекторий, соединяющих точки a и b. Однако точно так же, как и в случае интеграла Римана, невозможно достичь предела этого процесса, так как такой предел не существует. Мы снова должны ввести некоторый нормирующий множитель, который, как и следует ожидать, будет зависеть от .
К сожалению, определение такого нормирующего множителя оказывается весьма трудной задачей, и неизвестно, как это делать в общем случае. Однако нам это удаётся сделать для всех задач, которые до сих пор имели практическое значение. Возьмём, например, случай, когда лагранжиан задаётся выражением (2.2). Нормирующий множитель в этом случае равен A– N, где
A=
2ih
m
1/2
.
(2.21)
Как получен этот результат, мы увидим далее (см. § 1 гл. 4). С учётом множителя A переход к пределу имеет смысл, и мы можем написать
K(b,a)=
lim
– >0
1
A
…
e
(i/h)S[b,a]
dx1
A
dx2
A
…
dxN-1
A
(2.22)
где
S[b,a]=
tb
ta
L(x,x,t)dt
(2.23)
представляет собой однократный интеграл вдоль траектории, проходящей, как это показано на фиг. 2.3, через все соединённые прямолинейными отрезками точки xi.
Фиг. 2.3. Сумма по всем траекториям.
Она определяется как предел, в котором траектория первоначально задаётся лишь координатами x для большого числа фиксированных моментов времени, разделённых очень малыми интервалами длины . Тогда сумма по траекториям равна интегралу по всем этим выбранным координатам. Наконец для определения меры берётся предел при ->0.
Возможно и более изящное определение траектории. Для соединения точек xi и xi+1 вместо отрезков прямых линий мы могли бы использовать отрезки классической траектории. Тогда можно было бы сказать, что S — это наименьшее значение интеграла, взятого от лагранжиана по всем траекториям, которые проходят через выбранные точки (xi,ti). При таком определении нет необходимости прибегать к каким-то не имеющим
Интеграл по траекториям. Имеется много способов выбрать некоторое подмножество из всех траекторий, проходящих через точки a и b. Применявшийся нами способ, возможно, не является наилучшим с точки зрения математики. Предположим, например, что лагранжиан зависит от ускорения в точках x. В нашем способе построения траектории скорость имеет разрывы во всех точках (xi,ti), и, следовательно, ускорение в этих точках бесконечно велико. Это могло бы привести к затруднениям, но в тех немногих примерах, с которыми мы уже имели дело, вполне законной была замена
x=
1
^2
(x
i+1
– 2x
i
+x
i-1
)
(2.24)
Могут быть случаи, когда такая замена непригодна или неточна и использовать наше определение суммы по траекториям становится весьма затруднительно. Такая ситуация возникает уже при обычном интегрировании, если некорректно определение интеграла по Риману, задаваемое равенством (2.18), и приходится обращаться к другим определениям, например к интегралу Лебега.
Необходимость уточнить способ интегрирования вовсе не дискредитирует саму идею. Просто речь идёт о том, что возможные неудобства, связанные с нашим определением суммы по траекториям [см. выражение (2.22)], в конечном счёте могут потребовать формулировки новых определений. Тем не менее сама идея суммирования по всем траекториям, подобно идее обычного интеграла, не зависит от специфики определения и сохраняет смысл, несмотря на недостатки некоторых частных построений. Поэтому, пользуясь менее связывающими обозначениями, мы будем записывать сумму по траекториям как
K(b,a)=
b
a
e
(i/h)S[b,a]
Dx(t)
(2.25)
и называть её интегралом по траекториям. Это обстоятельство отметим введением знака D вместо оператора дифференциала d. Лишь изредка мы будем возвращаться к выражению типа (2.22).
Задача 2.6. Класс функционалов, на котором можно определить интегралы по траекториям, оказывается неожиданно широким. До сих пор мы рассматривали лишь функционалы типа (2.15). Теперь перейдём к рассмотрению совсем иного типа функционалов, возникающих в одномерной релятивистской задаче. Предположим, что движущаяся по прямой частица может перемещаться только вперёд и назад со скоростью света. Для удобства выберем такие масштабы измерений, чтобы скорость света, масса частицы и постоянная Планка равнялись единице. Тогда в плоскости (x,t) все траектории движения такого осциллятора имеют наклон ±/4, как показано на фиг. 2.4. Амплитуду, соответствующую одной из таких траекторий, можно определить следующим образом: разделим время на малые интервалы длиной и предположим, что изменение направления движения может происходить только на границе этих интервалов, т.е. в моменты времени t=ta+n, где n — целое число. В такой релятивистской задаче амплитуда перехода вдоль рассматриваемой траектории отличается от амплитуды (2.15); правильным в данном случае будет выражение
=(i)
R
,
(2.26)
где R — число точек поворота на траектории.
Фиг. 2.4. Траектория релятивистской частицы, движущейся в двух измерениях.
Это зигзагообразная линия с прямолинейными отрезками. Наклон прямых постоянен по величине и различается только знаком в обеих частях зигзага. Амплитуда вероятности для некоторой частной траектории, так же как и ядро, описывающее переход из точки a в точку b, зависит от числа поворотов R на траектории; это следует из выражений (2.26) и (2.27).