Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
x
1
=
x0
T
, b
1
=b
1+
T
,
(3.23)
как показано на фиг. 3.5.
Фиг. 3.5. Траектории частиц, движущихся сквозь гауссову щель.
Если частицы подчиняются классическим законам движения, то их распределение в момент времени T+ будет иметь тот же самый вид, что и в момент времени T. Различие состояло бы только в величине
В случае такой гауссовой щели выражением для амплитуды будет
(x)=
–
m
2ihT
exp
im
2h
x^2
+
x^20
T
+
+
im
h
–
x
+
x0
T
y+
im
2h
+
im
2hT
–
1
2b^2
y^2
dy.
(3.24)
Этот интеграл, подынтегральная функция которого имеет вид exp(x^2+x), можно вычислить, дополняя показатель экспоненты до полного квадрата:
–
[exp(x^2+x)]dx=
–
1/2
exp
–
^2
4
для Re<=0.
(3.25)
Таким образом, амплитуда становится равной
(x)=
m
2ih
1/2
T
1
T
+
1
+
hi
b^2m
– 1/2
x
xexp
im
2h
x^2
+
x^20
T
–
(im/h)^2(-x/+x0/T)^2
4(im/2h)(1/+1/T+hi/b^2m)
.
(3.26)
Классическая скорость при движении от начала координат до центра щели есть v0=x0T. Подставив это в последнее равенство и сгруппировав некоторые члены, получим следующее выражение для амплитуды:
(x)=
m
2ih
1/2
T++T
hi
mb^2
– 1/2
x
xexp
im
2h
v
2
0
T+
x^2
+
(m^2/2h^2^2)(x-v0)^2
(m/h)(i/T+i/)-1/b^2
.
(3.27)
Рассмотрим сначала относительную вероятность достижения
P(x)dx=
m
2hT
b
x
exp
– (x-v0)^2
(x)^2
dx.
(3.28)
Здесь применялась подстановка
(x)^2=b^2
1+
T
^2
+
^2h^2
m^2b^2
=b
2
1
+
^2h^2
m^2b^2
.
(3.29)
Как мы и ожидали, распределение оказывается гауссовым с центром в точке x1=v0, определяемой соотношением (3.23), однако ширина распределения x больше той величины b1 которая следует из этого соотношения. Интерпретировать это можно следующим образом. Пусть a1 и a2 — две независимые величины и их среднеквадратичные отклонения от средних значений составляют соответственно 1 и 2. Тогда если a3=a1+a2, то среднеквадратичное отклонение величины a3 от её среднего значения равно 3=(^21+^22) 1/2 . Далее, для какого-либо распределения среднеквадратичное отклонение является мерой его протяжённости, или шириной этого распределения, и для гауссова распределения exp(-x^21/2b^2) величина среднеквадратичного отклонения действительно равна b.
Таким образом, мы видим, что в данном случае квантовомеханическая система ведёт себя так, как если бы она обладала дополнительной случайной переменной x1, среднеквадратичное отклонение которой составляет
x
1
=
h
mb
.
(3.30)
Физический смысл имеет именно это дополнительное уширение x1, а не сама переменная x1. Поскольку в этом члене появляется константа h, ясно, что по природе своей он — квантовомеханический. Такой член является существенным в случае узких щелей и частиц с малой массой.
Итак, квантовая механика говорит нам, что после прохождения малых частиц сквозь узкую щель возникает неопределённость в их последующем положении. Эта неопределённость x1 пропорциональна интервалу времени между прохождением частицы сквозь щель и последующим наблюдением её положения. Вводя классическое понятие скорости, мы должны сказать, что прохождение частицы сквозь щель создаёт в значении её скорости неопределённость, величина которой равна
v=
h
mb
.
(3.31)
Связанный с шириной щели параметр 2b мы могли бы рассматривать как меру неопределённости координаты частицы в момент её прохождения сквозь щель. Если обозначить эту неопределённость через x и записать произведение mv как импульс p, то выражение (3.31) приобретает вид
px=2h.
(3.32)
Мы снова пришли к одной из формулировок принципа неопределённости: хотя в классическом смысле скорость могла быть известна точно, последующее положение частицы приобретает такую дополнительную неопределённость, как если бы частица при прохождении сквозь щель ширины x получала случайный импульс p. Если бы для качественного описания результатов квантовой механики использовались классические понятия, то мы бы сказали, что точное определение положения порождает неопределённость в импульсе.