Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Каждую траекторию можно делить на части двумя моментами времени: tc и td. Тогда ядро, соответствующее частице, движущейся из точки a в точку b, можно записать в виде
K(b,a)=
K(b,c)
K(c,d)
K(d,a)
dx
c
dx
d
.
x
c
x
d
(2.32)
Это означает, что частица, которая
Мы можем продолжать этот процесс до тех пор, пока весь интервал времени не разделится на N участков. В результате получим
K(b,a)=
x1
x2
…
xN-1
K(b,N-1)
K(N-1,N-2)
…
K(i+1,i)
…
K(1,a)
dx
1
dx
2
…
dx
N-1
.
(2.33)
Это означает, что мы можем определить ядро способом, отличным от приведённого в соотношении (2.22). В этом новом определении ядро, соответствующее переходу частицы между двумя точками, разделёнными бесконечно малым интервалом времени , имеет вид
K(i+1,i)=
1
A
exp
i
h
L
xi+1– xi
,
xi+1+xi
2
,
ti+1+ti
2
.
(2.34)
Последнее выражение является точным в первом приближении по . Тогда в соответствии с правилами перемножения амплитуд для событий, которые происходят последовательно во времени, мы получим выражение амплитуды, отвечающей всей траектории:
[x(t)]=
lim
– >0
N-1
i=0
K(i+1,i).
(2.35)
Используя затем правило сложения амплитуд, соответствующих альтернативным траекториям, приходим к определению ядра K(b,a). Окончательное выражение, как можно видеть, совпадает с формулой (2.22).
§ 6. Некоторые замечания
В релятивистской теории электрона мы не сможем выразить амплитуду вероятности, соответствующую некоторой траектории, в виде eiS/h или каким-либо другим простым способом. Тем не менее правила сложения амплитуд останутся справедливыми (с некоторыми небольшими изменениями). Как и ранее, для каждой траектории существует амплитуда
В нерелятивистских системах с большим числом переменных и даже в квантовой теории электромагнитного поля остаются справедливыми не только установленные выше принципы сложения амплитуд, но и сама амплитуда вероятности подчиняется правилам, изложенным в этой главе. Именно движению, связанному с каждой переменной, отвечает амплитуда вероятности, фаза которой равна соответствующему действию, делённому на h. Эти более сложные случаи мы рассмотрим в последующих главах.
Глава 3
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ИДЕЙ НА КОНКРЕТНЫХ ПРИМЕРАХ
В этой главе мы получим выражения для ядер, соответствующих некоторым определённым видам движения. Чтобы развить физическую интуицию в отношении движения, подчиняющегося законам квантовой механики, мы будем всегда выявлять физический смысл получаемых математических выражений; здесь же введём волновую функцию и выясним её связь с ядром. Это явится первым шагом в установлении связи нашего подхода к квантовой механике с её более традиционными формулировками.
Рассмотрим также некоторые специальные математические методы вычисления суммы по траекториям. Понятие суммы по всем траекториям было введено в гл. 2 с помощью некоторого специального указания о том, как именно надо проводить вычисление. Хотя это указание, возможно, и разъясняет суть дела, тем не менее оно неудобно для практического пользования. В этой главе изложены более простые методы, которые будут широко применяться в дальнейшем.
Таким образом, настоящая глава преследует три цели: углубить наше понимание квантовомеханических принципов, установить связь между нашим и другими подходами к квантовой механике и, наконец, ввести некоторые полезные математические методы.
§ 1. Свободная частица
Интеграл по траекториям. Для вычисления ядра, соответствующего движению свободной частицы, мы применим здесь метод, использованный в гл. 2 при определении суммы по всем траекториям. Для свободной частицы лагранжиан равен
L=
mx^2
2
,
(3.1)
поэтому, учитывая выражения (2.21) — (2.23), мы можем записать ядро в виде
K(b,a)=
lim
– >0
…
exp
im
2h
N
i=1
(x
i
– x
i-1
)^2
x
x
dx
1
…
dx
N-1
.
2ih
m
– N/2
.
(3.2)
Выражение в правой части представляет собой цепочку гауссовых интегралов, т.е. интегралов вида