Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
В качестве упражнения читатель может использовать это выражение для того, чтобы вычислить ядро K(b,a), суммируя вклады от траекторий с одной, двумя и т.д. точками поворота. Это даст
K(b,a)=
N(R)(i)
R
,
R
(2.27)
где N(R) — число возможных траекторий с R точками поворота. Лучше всего вычислять четыре отдельные величины K, а именно: K++(b,a)— амплитуду перехода из точки a, где скорость частицы была
Предположим теперь, что время измеряется в единицах h/mc^2. Покажите, что если интервал времени очень велик (tb– ta >> h/mc^2), а средняя скорость мала [xb– xa << c(tb– ta)], то ядро [если не считать множителя exp (imc^2/h)(ta– tb)] совпадает с выражением для свободной частицы [см. (3.3)]. Приведённые здесь выражения амплитуды и ядра справедливы для одномерного движения свободной релятивистской частицы, и результат совпадает с решением уравнения Дирака для этого случая.
§ 5. Последовательные события
Правило для двух событий. В этом параграфе мы выведем важный закон сложения амплитуд вероятностей событий, которые происходят последовательно во времени. Предположим, что tc — некоторый момент времени в промежутке между ta и tb. Тогда действие, соответствующее произвольной траектории между точками a и b, может быть записано как
S[b,a]=
S[b,c]+
S[c,a].
(2.28)
Это следует из определения действия как интеграла по времени от функции Лагранжа L, а также из того, что L не зависит от производных более высокого порядка, чем скорость. (В противном случае нам пришлось бы в точке c определять значения скорости и, возможно, производных более высокого порядка.) Используя равенство (2.25), которым определяется ядро, можно записать
K(b,a)=
exp
i
h
S[b,c]+
i
h
S[c,a]
Dx(t).
(2.29)
Фиг. 2.5. Вычисление суммы по траекториям.
Один из способов, которым может быть вычислена сумма по всем траекториям, заключается в суммировании по всем траекториям, проходящим через точку xc в момент времени tc, и в последующем суммировании по точкам xc.
Для каждой траектории, выходящей из точки a в точку b через c, амплитуда вероятности равна произведению двух сомножителей: 1) амплитуды перехода из точки a в точку c и 2) амплитуды перехода из точки c в точку b. Следовательно, это справедливо также и для суммы по всем траекториям, проходящим через
Точка c разделяет любую траекторию на два участка. Как показано на фиг. 2.5, концами первого будут xa и xc=x(tc), а концами второго — xc и xb. Можно проинтегрировать по всем траекториям между точками a и c, а потом по всем траекториям между точками c и b и, наконец, результат проинтегрировать по всем возможным значениям xc. При выполнении первого интегрирования S[b,c] является постоянной. Поэтому результат можно записать в виде
K(b,a)=
xc
b
c
e
(i/h)S[b,c]
K(c,a)
Dx(t)
dx
c
.
(2.30)
Выполнив интегрирование по всем траекториям от c до b, а затем по всем возможным значениям xc, получим окончательно
K(b,a)=
K(b,c)
K(c,a)
dx
c
.
x
c
(2.31)
Быть может, рассуждения будут более понятыми, если исходить из выражения (2.22). Выделим один из дискретных моментов времени tk. Пусть tc=tk и xc=xk. Сначала интегрируем по всем xi для которых i<k. Это приведёт к появлению под знаком интеграла множителя K(c,a). Далее интегрируем по всем xi, для которых i>k; так получается множитель K(b,c). После этого остаётся проинтегрировать по xc, и результат запишется в виде (2.31).
Окончательный итог можно кратко сформулировать следующим образом. Любая из возможных траекторий между точками a и b однозначно определяется выбором точки xc, которая отвечает моменту времени tc. В случае частицы, движущейся из точки a в точку b, ядро можно вычислить, руководствуясь такими правилами:
1) ядро, соответствующее переходу из точки a в точку b, равняется сумме амплитуд перехода частицы из точки a в точку c и далее в точку b по всем возможным значениям величины xc;
2) амплитуда перехода из точки a в точку c и далее в точку b равна произведению ядер, соответствующих переходам из точки a в точку c и из точки c в точку b.
Таким образом, имеет место правило: амплитуды последовательных во времени событий перемножаются.
Обобщение правила на случай нескольких событий. Существует много приложений этого важного правила; некоторые из них будут изложены в последующих главах. Здесь же мы покажем, как оно применяется для того, чтобы получить выражение (2.22) другим способом.