Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

empty-line/>

E

=

–

–

^2(1-P)^2

3w

.

(11.87)

Таким образом, наш метод даёт поправку даже для малых значений . Поправка будет минимальна при w=3, и в этом случае

E

=

–

–

^2

81

=

–

– 1,23

10

^2

.

(11.88)

Последнее выражение слабо

зависит от w; например при w=1 коэффициент 1,23 уменьшается только до 0,98. Метод Ли и Пайнса [10] даёт в этом приближении точно такой же результат, что и выражение (11.88). Разложение по теории возмущений до членов второго порядка было сделано Хага [11], который показал, что истинное значение коэффициента при члене (/10)^2 должно быть 1,26, так что наш вариационный метод очень точен при малых .

Противоположный предел при больших значениях соответствует большим v и, как мы увидим, значениям w порядка единицы. Так как v>>w, то в первом приближении интеграл в выражении (11.75) переходит в формулу (11.81), асимптотику которой можно использовать без вычислений. Следующее приближение по w можно получить, разложив радикал в выражении (11.75), при условии w/v<<1. Кроме того, пренебрежимо малым оказывается член e^{– v}. В этом случае

E

=

3

4v

(v-w)^2

–

v

1/2

1+

2 ln2

v

–

w^2

2v

.

(11.89)

В рассматриваемом приближении больших v это выражение минимально при w=1 и v=(4^2/9)-(41n-1); тогда (см. [12])

E

=

–

3

– 3 ln2 -

3

4

=

– 0,1061^2

– 2,83

.

(11.90)

Эти приближения не определяют верхнего предела E, так как, к сожалению, последующие члены будут порядка 1/^2 и, по-видимому, являются положительными.

Детальный численный расчёт, основанный на этом приближении, был выполнен Шульцем [13]. С помощью счётной машины Шульц вычислил значения v и w, которые дают минимум E для различных значений ; он вычислил также энергию E и сравнил полученную величину со значениями, полученными в различных теориях. В частности, он вычислил собственное значение энергии в теориях Ли, Лоу и Пайнса [14] (E_llp), в теориях Ли и Пайнса [10] (E_lp), Гросса [15] (E_g), Пекара [16], Боголюбова [17] и Тябликова [18] (E_pbt).

В табл. 2, позаимствованной из работы Шульца [13], приведены результаты вычислений , v и w, а также значения энергий из теории Фейнмана (E_e) и других теорий. В этой таблице предполагается, что и h равны единице. Отметим, что для всех значений а величина энергии в теории Фейнмана меньше, чем во всех других теориях.

Таблица 2

3

5

7

9

11

v

 3,44

 4,02

 5,81

9,85

 15,5

w

 2,55

 2,13

 1,60

1,28

1,15

E

_e

– 3,1333

– 5,4401

– 8,1127

– 11,486

– 15,710

E

_lp

– 3,10

– 5,30

– 7,58

– 9,95

– 12,41

E

_g

– 3,09

– 5,24

– 7,43

– 9,65

– 11,88

E

_pbt

– 6,83

– 10,31

– 14,7

Глава 12

ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В предыдущих главах мы видели, как применяются интегралы по траекториям для решения задач квантовой механики, которые по своей физической природе являются вероятностными задачами. Кроме того, мы пользовались этим методом для анализа некоторых проблем статистической механики, вероятностная природа которой делает метод интегралов по траекториям особенно эффективным. Можно расширить круг конкретных применений этого метода на широкий класс задач теории вероятностей.

Целью данной главы является рассмотрение нескольких таких задач. Эти задачи разбиваются на два типа. Во-первых, мы обсудим непосредственное приложение метода интегрирования по траекториям к классическим задачам теории вероятностей. Это отличает данную главу от предыдущих, где все применения относились к квантовой механике. Во-вторых, рассмотрим смешанные вероятностные и квантовомеханические задачи. Мы не можем в этой главе углубляться в детали и ограничимся только некоторыми примерами постановки отдельных задач, предоставляя читателю самостоятельно разобрать другие применения метода интегрирования по траекториям.

Основное достоинство метода интегрирования по траекториям состоит в том, что он непосредственно содержит представление о вероятности некоторой траектории или функции. Для пояснения этой мысли последовательно рассмотрим хорошо известные понятия теории вероятности в применении к дискретным и непрерывным переменным ²³).

²³ Предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями обычной теории вероятностей (см. например, [19]).

§ 1. Случайные события

Для начала предположим, что перед нами стоит задача теории вероятности, в которой переменные принимают дискретные значения. Пусть в случайно выбранные моменты времени происходит ряд дискретных событий; это может быть, например, прохождение космических частиц через счётчик или падение дождевых капель на выделенную для наблюдений площадку. Хотя известно, что частицы появляются в случайные моменты времени, однако можно ожидать, что в течение любого достаточно длительного промежутка времени T будут наблюдаться n=T частиц. Таким образом, имеет смысл средней скорости счета.