Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Конечно, при любом реальном измерении точное число зарегистрированных частиц n, вообще говоря, не будет совпадать с их средним числом. Однако можно спросить, какова вероятность наблюдения некоторого числа n частиц за время, в течение которого в среднем появляются n частиц. Ответ даётся распределением Пуассона
P
n
=
nn
n!en
(12.1)
С другой стороны, можно интересоваться вероятностными вопросами иного типа. Например, какова вероятность того, что после появления предыдущей частицы следующая появится в момент t? На вопрос, сформулированный таким образом, не существует правильного ответа. Если же мы поинтересовались бы вероятностью
P(t)
dt
=
e
– t
dt
.
(12.2)
Так приходим к понятию распределения вероятности для непрерывной переменной: P(t) есть отнесённая к единице измерения t вероятность того, что интервал между событиями равен t. Запишем распределение вероятности для x как P(x), если P(x)dx представляет вероятность того, что переменная находится в окрестности dx точки x. Можно легко распространить это определение на случай двух переменных и написать вероятность распределения x и y как P(x,y)dxdy. При этом мы подразумеваем, что вероятность найти переменные x и y в области R плоскости xy даётся интегралом
R
P(x,y)dxdy
.
Хотелось бы расширить концепцию вероятности ещё дальше. Желательно рассматривать распределения не только отдельных переменных, но также и целых кривых, т.е. хотелось бы построить вероятностные функции, или, точнее, функционалы, которые позволят ответить на вопрос: какова вероятность какой-либо конкретной эволюции физического процесса, развивающегося во времени, например напряжения на вольтметре или цены на товар, или, в случае двух переменных, какова вероятность формы поверхности моря как функции широты и долготы? Все это приводит нас к необходимости рассмотреть вероятность некоторой функции.
Запишем это так. Вероятность наблюдения функции f(t) есть функционал P[f(t)]. При этом следует помнить, что вопросы относительно такой вероятности имеют смысл, только если определить интервал, внутри которого мы ищем определённую функцию. Так же, как в приведённом выше примере, мы должны были спросить: какова вероятность найти конец временного промежутка внутри интервала dt? Теперь аналогично следует спрашивать: какова вероятность найти функцию в пределах некоторого более или менее ограниченного класса функций (например, среди кривых, заключённых между точками a и b) в течение всего времени интересующего нас хода событий? Если мы назовём такую совокупность функций классом A и спросим, какова вероятность найти функцию f(t) в классе A, то ответ записывается в виде интеграла по траекториям
P[f(t)]
Df(t)
,
A
(12.3)
где интегрирование проведено по всем функциям класса A.
Это выражение можно осмыслить по аналогии с функцией вероятности для нескольких переменных. Вообразим, что точками t1,t2,… время разбито на дискретные интервалы (как мы это делали в гл. 2, когда только что определили интегралы по траекториям). Тогда значения функции в избранных временных точках f(t1),f(t2),… = f1,f2,…, аналогичны аргументам функции распределения многих переменных. Вероятность обнаружения заданной кривой можно понимать теперь как вероятность получения заданной системы величин f1,f2,… в интервале df1,df2,…,
§ 2. Характеристические функции
Полезно и дальше использовать аналогию между функционалом вероятности траектории и более привычной функцией распределения. Оба эти подхода имеют некоторые общие понятия, например понятие среднего значения. В случае обычных функций распределения дискретных величин, когда вероятность обнаружения некоторого числа n равна Pn, среднее значение определяется как
n
=
n=1
n
P
n
.
(12.4)
Для непрерывно распределённых переменных
x
=
–
x
P(x)
dx
.
(12.5)
Аналогичным образом среднее значение функционала Q[f(t)] определим как
Q
=
Q[f(t)]P[f(t)]Df(t)
P[f(t)]Df(t)
.
(12.6)
В последнем соотношении, как и в гл. 7, мы включили в знаменатель интеграл по траекториям, который напоминает нам, что мы всегда должны иметь дело с проблемой нормировки. В принципе можно было бы с самого начала вычислить интеграл по траекториям от функции распределения, приравнять его единице и определить нормировочную постоянную. Однако во многих практических случаях удобнее оставлять функцию ненормированной, просто сокращая числовые множители в числителе и знаменателе выражения, которые сами по себе могут оказаться крайне сложными для вычисления.
Средний квадрат функции в заданный момент времени, например при t=a, так же как и среднее значение функции, можно выразить через интегралы по траекториям. В этом случае получается функционал
[f(a)]^2
=
[f(a)]^2P[f(t)]Df(t)
P[f(t)]Df(t)
.
(12.7)
Одним из наиболее важных случаев усреднения функций согласно (12.5) является вычисление среднего значения eikx. Это среднее значение называется характеристической функцией и равно
(k)
=
e
ikx
=
–
e
ikx
P(x)
dx
.
(12.8)
Иногда эту функцию называют также производящей функцией для моментов. Она представляет собой просто преобразования Фурье для P(x) и очень полезна для оценки различных характеристик распределения, так как её наличие эквивалентно заданию самой функции распределения. Последнее вытекает из возможности выполнить обратное преобразование
P(x)
=
–
e
– ikx
(k)
dk
.
(12.9)
Некоторые важные параметры этого распределения можно определить, вычисляя производные характеристической функции. Так, например, среднее значение x равно
x
=
– i
d(k)
dk
k=0
,
(12.10)
что легко показать, дифференцируя обе части равенства (12.8) по k и полагая затем k=0. В самом деле, существует последовательность соотношений