Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

)

dt

x

x

p(a

₁

)da

₁

p(a

₂

)da

₂

…

.

(12.29)

Конечно, каждая из вероятностных функций для величин a_j обладает соответствующей ей характеристической функцией (или производящей функцией для моментов). Назовём эту функцию W[] и определим её равенством

W[]

=

e

^ia

p(a)da

.

(12.30)

Тогда

выражение для можно записать в виде

=

 

^j

W

k(t)

u(t-t

_j

)

dt

.

(12.31)

Далее мы можем действовать как при выводе выражения (12.17) и допустить, что моменты появления сигналов случайно распределены по интервалу 0<=t<=T. Если мы предположим, что в этом интервале имеется точно n импульсов, то получим характеристический функционал

=

T

n

(12.32)

где

=

W

k(t)

u(t-s)

dt

ds

.

(12.33)

Если теперь, как и при выводе (12.18), предположить, что распределение числа сигналов во времени описывается функцией Пуассона, то выражение (12.32) надо умножить на nⁿe^{– n}/n!, где, как прежде, n=T — среднее число сигналов за время T. Суммируя по n, получаем

=

e

^{– (T-)}

=

exp

–

1-

W

k(t)

u(t-s)

dt

ds

.

(12.34)

В качестве конкретного примера использования полученного результата рассмотрим очень узкий сигнал. Более того, предположим, что его форму можно аппроксимировать -функцией, т.е. u(t)=(t). Тогда характеристический функционал

=

–

{1-W[k(s)]}

ds

.

(12.35)

Предположим далее, что весовые множители имеют гауссово распределение с нулевым средним значением и среднеквадратичным отклонением, равным ; другими словами, допустим, что эти множители имеют обычное нормальное распределение

p(a)da

=

1

2

e

^{– a^2/2^2}

da

.

(12.36)

В этом случае характеристическая функция

W[]

=

e

^{– ^2^2/2}

(12.37)

приводит к следующему выражению для :

[k(t)]

=

exp

–

(1-e

^{– (^2/2)[k(s)]^2}

)

ds

.

(12.38)

Итак, мы снова установили,

что, выбирая исходные предположения, можно вывести соответствующий характеристический потенциал. На любой стадии вывода допустима обоснованная аппроксимация, сводящая функционал к квадратичному виду. Например, в только что описанном случае малая величина среднеквадратичного масштабного множителя соответствует слабым сигналам. Если к тому же среднее число сигналов, приходящихся на временной интервал, велико, то (12.38) достаточно хорошо аппроксимируется выражением

=

exp

–

^2

2

[k(t)]^2

dt

(12.39)

Такое распределение называется белым шумом.

§ 4. Гауссовы шумы

Распределения с гауссовым характеристическим функционалом встречаются во многих ситуациях; эти распределения мы теперь и рассмотрим.

Нам уже пришлось иметь дело с гауссовыми распределениями, т.е. с экспоненциальными функциями, содержащими в показателе квадраты функций, к которым относится данное распределение. Мы пришли к гауссовым функционалам, сохранив член второго порядка в разложении экспоненты, возникающей как следствие нашего предположения о справедливости распределения Пуассона для случайных событий. Нужно отметить, что некоторые физические процессы в силу своей природы действительно описываются такими функциональными распределениями. В обычной теории вероятностей нормальное, или гауссово, распределение описывает физические процессы, состоящие из большого числа независимых случайных событий. В этом состоит результат основной предельной теоремы теории вероятностей. Это относится и к вероятностным функционалам и проявляется в том, что во многих важных случаях исследование физических явлений приводит к гауссовым распределениям. Для дальнейшего использования напишем здесь самую общую форму гауссова характеристического функционала:

=

exp

i

k(t)F(t)dt

x

x

exp

–

1

2

k(t)

k(t')

A(t,t')

dt

dt'

.

(12.40)

Первый множитель в этом выражении можно устранить сдвигом начала отсчёта f(t), как это уже отмечалось при выводе распределения флуктуаций потенциала. Таким образом, можно ввести функцию f'=f-F(t). Кроме того, заметим, что если поведение описываемой системы не зависит от абсолютного значения времени, то ядро A(t,t') должно иметь форму A(t-t').

В конкретных физических задачах вид функции A можно определить либо экспериментально, либо пользуясь приближённой картиной отдельных сторон явления, достаточно близкой к реальной. Приведённый выше вывод шумового спектра даёт пример, такого приближения. При этом A(t,t')=(t-t'). Во всяком случае, теоремы о поведении системы, получающиеся при использовании этой функции, останутся справедливыми до тех пор, пока квадратичная или гауссова форма (12.40) пригодна для аппроксимации характеристического функционала.

Конечно, теперь мы умеем обращаться с гауссовыми функционалами, так как в предыдущих главах затратили достаточно времени на различные операции с ними. Появление множителя i отличает этот случай от того, что встречается в типичных квантовомеханических задачах. В самом деле, функции, которые были действительными, например, в § 4 гл. 7, являются здесь мнимыми, что, однако, не требует какого-либо пересмотра математического аппарата; это замечание подготовит нас к некоторым различиям в деталях результатов.