Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
)
dt
x
x
p(a
1
)da
1
p(a
2
)da
2
…
.
(12.29)
Конечно, каждая из вероятностных функций для величин aj обладает соответствующей ей характеристической функцией (или производящей функцией для моментов). Назовём эту функцию W[] и определим её равенством
W[]
=
e
ia
p(a)da
.
(12.30)
Тогда
=
j
W
k(t)
u(t-t
j
)
dt
.
(12.31)
Далее мы можем действовать как при выводе выражения (12.17) и допустить, что моменты появления сигналов случайно распределены по интервалу 0<=t<=T. Если мы предположим, что в этом интервале имеется точно n импульсов, то получим характеристический функционал
=
T
n
(12.32)
где
=
W
k(t)
u(t-s)
dt
ds
.
(12.33)
Если теперь, как и при выводе (12.18), предположить, что распределение числа сигналов во времени описывается функцией Пуассона, то выражение (12.32) надо умножить на nne– n/n!, где, как прежде, n=T — среднее число сигналов за время T. Суммируя по n, получаем
=
e
– (T-)
=
exp
–
1-
W
k(t)
u(t-s)
dt
ds
.
(12.34)
В качестве конкретного примера использования полученного результата рассмотрим очень узкий сигнал. Более того, предположим, что его форму можно аппроксимировать -функцией, т.е. u(t)=(t). Тогда характеристический функционал
=
–
{1-W[k(s)]}
ds
.
(12.35)
Предположим далее, что весовые множители имеют гауссово распределение с нулевым средним значением и среднеквадратичным отклонением, равным ; другими словами, допустим, что эти множители имеют обычное нормальное распределение
p(a)da
=
1
2
e
– a^2/2^2
da
.
(12.36)
В этом случае характеристическая функция
W[]
=
e
– ^2^2/2
(12.37)
приводит к следующему выражению для :
[k(t)]
=
exp
–
(1-e
– (^2/2)[k(s)]^2
)
ds
.
(12.38)
Итак, мы снова установили,
=
exp
–
^2
2
[k(t)]^2
dt
(12.39)
Такое распределение называется белым шумом.
§ 4. Гауссовы шумы
Распределения с гауссовым характеристическим функционалом встречаются во многих ситуациях; эти распределения мы теперь и рассмотрим.
Нам уже пришлось иметь дело с гауссовыми распределениями, т.е. с экспоненциальными функциями, содержащими в показателе квадраты функций, к которым относится данное распределение. Мы пришли к гауссовым функционалам, сохранив член второго порядка в разложении экспоненты, возникающей как следствие нашего предположения о справедливости распределения Пуассона для случайных событий. Нужно отметить, что некоторые физические процессы в силу своей природы действительно описываются такими функциональными распределениями. В обычной теории вероятностей нормальное, или гауссово, распределение описывает физические процессы, состоящие из большого числа независимых случайных событий. В этом состоит результат основной предельной теоремы теории вероятностей. Это относится и к вероятностным функционалам и проявляется в том, что во многих важных случаях исследование физических явлений приводит к гауссовым распределениям. Для дальнейшего использования напишем здесь самую общую форму гауссова характеристического функционала:
=
exp
i
k(t)F(t)dt
x
x
exp
–
1
2
k(t)
k(t')
A(t,t')
dt
dt'
.
(12.40)
Первый множитель в этом выражении можно устранить сдвигом начала отсчёта f(t), как это уже отмечалось при выводе распределения флуктуаций потенциала. Таким образом, можно ввести функцию f'=f-F(t). Кроме того, заметим, что если поведение описываемой системы не зависит от абсолютного значения времени, то ядро A(t,t') должно иметь форму A(t-t').
В конкретных физических задачах вид функции A можно определить либо экспериментально, либо пользуясь приближённой картиной отдельных сторон явления, достаточно близкой к реальной. Приведённый выше вывод шумового спектра даёт пример, такого приближения. При этом A(t,t')=(t-t'). Во всяком случае, теоремы о поведении системы, получающиеся при использовании этой функции, останутся справедливыми до тех пор, пока квадратичная или гауссова форма (12.40) пригодна для аппроксимации характеристического функционала.
Конечно, теперь мы умеем обращаться с гауссовыми функционалами, так как в предыдущих главах затратили достаточно времени на различные операции с ними. Появление множителя i отличает этот случай от того, что встречается в типичных квантовомеханических задачах. В самом деле, функции, которые были действительными, например, в § 4 гл. 7, являются здесь мнимыми, что, однако, не требует какого-либо пересмотра математического аппарата; это замечание подготовит нас к некоторым различиям в деталях результатов.