Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Распределение вероятности, соответствующее характеристическому функционалу (12.40), имеет вид
P[f(t)]
=
exp
–
1
2
[f(t)-F(t)]
x
x
[f(t')-F(t')]
B(t,t')
dt
dt'
.
(12.41)
где теперь функция B(t,t') представляет собой ядро, обратное ядру A(t,t'), т.е. функции A и B связаны равенством
A(t,)
B(,s)
d
=
(t-s)
.
(12.42)
Задача 12.1.
Все параметры распределения можно вычислить из характеристического функционала методом, изложенным в гл. 7.
Здесь мы изучим более детально некоторые физические характеристики постоянного во времени гауссова шума, т.е. изучим распределения с характеристическим функционалом
=
exp
–
1
2
k(t)
k(t')
A(t-t')
dt
dt'
.
(12.43)
Функция A называется корреляционной функцией. Выражение (12.43) означает, что вероятность наблюдения заданной шумовой функции f(t) равна
P[f(t)]
=
exp
–
1
2
k(t)
k(t')
B(t-t')
dt
dt'
.
(12.44)
В последнем выражении появилась функция B, обратная по отношению к корреляционной функции A. Это означает, что B(t-s)A(s)ds=(t) или, если
P
=
A
e
i
d
(12.45)
является преобразованием Фурье от функции A, то преобразование Фурье от функции B равно 1/P.
Мы начнём с численного анализа некоторых свойств этого распределения. Сначала покажем, что среднее значение шумовой функции равно нулю. Как следует из равенства (12.13), среднее значение шума в данный момент времени определяется соотношением
f(a)
=
– i
k(a)
(12.46)
В этом выражении, согласно § 2 гл. 7, функциональная производная функционала (12.43) равна
k(a)
=
–
k(t)
A(t-a)
dt
(12.47)
и обращается в нуль, если k(t)=0.
Вычислим теперь средний квадрат шумовой функции, или, лучше, среднее значение произведения двух шумовых функций в моменты a и b. Эта величина называется корреляционной функцией шума. Дважды продифференцировав обе части равенства (12.12), имеем
f(a)f(b)
=
^2
k(a)k(b)
=
A(b-a)
–
–
k(t)
A(t-a)
dt
k(t')
A(t'-a)
dt'
.
(12.48)
Вычислив
§ 5. Спектр шума
Наиболее употребительная характеристика распределения шумов — это спектр их интенсивности (см. задачу 6.26), который определяется как среднее значение квадрата от фурье-образа шумовой функции, т.е. от
=
f(t)
e
it
dt
.
(12.49)
Используя наши предыдущие результаты, можно найти
||^2
=
f(a)
e
ia
da
f(b)
e
ib
db
=
=
f(a)f(b)
e
i(a-b)
da
db
=
=
A(b-a)
e
i(a-b)
da
db
=
P
da
.
(12.50)
Здесь мы использовали функцию P, фурье-образ корреляционной функции A [см. выражение (12.45)].
Если проинтегрировать в последнем из равенств (12.50), то получится бесконечный результат. Поэтому среднеквадратичную величину, которую мы хотим найти, можно определить лишь для некоторого конечного интервала времени. Если взять единичный интервал времени, то можно сказать, что средняя мощность в расчёте на 1 сек
P
=
среднее значение ||^2
.
(12.51)
Мы можем применить некоторые из этих общих результатов к нашему специальному примеру шума, вызванного множеством малых сигналов. Корреляционная функция в этом случае — это просто функция из формулы (12.22), т.е.
A
=
g(t)
g(t+)
d
.
(12.52)
Это означает, что функция мощности, называемая обычно спектром мощности, так как она определяется частотой, равна
P
=
g(t)
g(t+)
e
i
d
dt
=
||^2
,
(12.53)
где — фурье-образ функции сигнала g(t). В нашем случае этот простой результат можно истолковать непосредственно. Если сигналы приходят в моменты ti так что
f(t)
=
i
g(t-t
i
)
,
то фурье-образ f(t) равен