Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
(0)=1
,
'(0)=ix
,
''(0)=x^2
,…
(12.11)
Следующий наш шаг состоит в обобщении понятия характеристической функции на случай функционального распределения. Математическое определение такой характеристической функции можно построить, снова возвращаясь к нашей картине дискретных интервалов времени; затем нужно выполнить преобразование Фурье для функции распределения большого числа переменных, используя ядро exp(ik1f1) exp(ik2f2) ….
[k(t)]
=
eik(t)f(t)dtP[f(t)]Df(t)
P[f(t)]Df(t)
.
(12.12)
Этот характеристический функционал также обладает важными специальными свойствами. Например, (0)=1, а среднее значение функции f(t), вычисляемое в некоторый момент времени t=a, равно
f(a)
=
– i
k(a)
[k(t)]
k(t)=0
,
(12.13)
где используется функциональная производная, определённая в § 2 гл. 7.
В принципе можно выполнить обратное интегральное преобразование Фурье по траекториям и записать вероятностный функционал в форме
P[f(t)]
=
e
– ik(t)f(t)dt
[k(t)]
Dk(t)
(12.14)
где интеграл по траекториям берётся в пространстве функций k.
Для дальнейшего использования заметим, что если функция f(t) всюду совпадает с некоторой заданной функцией F(t), т.е. P[f(t)] равен нулю для всех f(t), кроме F(t), то характеристическая функция имеет вид
=
e
ik(t)F(t)dt
.
(12.15)
§ 3. Шумы
Используем теперь развитые выше идеи для изучения конкретных примеров и в ходе этого выработаем несколько новых понятий. Пусть мы проводим эксперимент, в котором считаем сигналы некоторого типа, например импульсы, создаваемые космическими лучами в счётчике Гейгера, или импульсы теплового шума в вольтметре. В таких случаях импульсы проявляются не просто как резкие дискретные всплески энергии, а характеризуются нарастанием и спадом потенциала. Внимательное изучение реального изменения потенциала, вызванного такими импульсами, показало бы, что для сигнала, пришедшего в момент t, оно имело бы форму g(t). Точно так же, если бы сигнал приходился на момент t=t0, форма потенциальной кривой была бы g(t-t0).
Далее предположим, что мы проводим наши измерения в интервале времени T, в течение которого регистрируются импульсы с центрами в моменты t1,t2,…,tn. Полное изменение потенциала в течение всего эксперимента было бы
n
j=1
g(t-t
j
)
.
Так как нам известно, когда произошли все события, то наша функция распределения просто должна выражать достоверность. Используя равенство (12.15),
= exp
i
n
j=1
k(t)
g(t-t
j
)
dt
.
(12.16)
Предположим теперь, что до проведения эксперимента мы хотели бы определить вероятность наблюдения вполне определённого изменения потенциала с течением времени. Допустим при этом, что n событий равновероятно распределены по всему интервалу T, т.е. что вероятность события в интервале времени dt равна dt/T. В этом случае характеристическая функция оказывается равной
=
T
0
exp
i
n
j=1
k(t)
g(t-t
j
)
dt
dt1
T
dt2
T
…
dtn
T
=
=
T
0
exp
i
k(t+s)
g(t)
dt
ds
T
n
.
(12.17)
Обозначим выражение в скобках через A и запишем результат как An.
Если число событий в интервале времени распределяется так, что применимо распределение Пуассона, т.е. наступление любого события не зависит от момента наступления других событий и имеется постоянная скорость появления среднего числа событий за единицу времени, то среднее число событий, происходящих за время T, равно T=n и характеристическая функция
=
n
A
n
nn
n!
e
– n
.
(12.18)
Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение экспоненты от (A-1)n, так что характеристическую функцию можно записать в виде
=
e
– (A-1)n
=
exp
– T
1-
T
0
e
ik(t+s)g(t)dt
ds
T
=
=
exp
–
T
0
(1-e
ik(t+s)g(t)dt
)
ds
.
(12.19)
Таким образом, можно теперь вычислить характеристическую функцию для многих различных случаев. Перейдём к рассмотрению некоторых частных случаев, где можно использовать простые приближения.