Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Многие задачи в какой-то степени можно поставить и частично решить, исходя из уравнения (12.64). Рассмотрим конкретный пример. Быстрая частица пролетает сквозь вещество и вблизи ядер претерпевает резкие, но небольшие по величине изменения скорости. Какова вероятность того, что, пройдя толщину T, частица отклонится на расстояние D от первоначальной прямолинейной траектории и будет двигаться под углом к ней, как это показано на фиг. 12.1?
Фиг. 12.1. Движение быстрой частицы пердендикулярно
Пройдя толщину t в направлении первоначального движения, быстрая частица вследствие взаимодействий с ядрами вещества отклоняется на расстояние x. В конце концов она вылетает из пластинки на расстоянии D от точки x=0, в которой она вылетела бы при отсутствии взаимодействий, и движется под углом к первоначальному направлению.
Предположим, что взаимодействие не приводит к заметному уменьшению продольной скорости частицы и вещество, сквозь которое проходит частица, однородно. Далее, допустим, что угол всегда мал и что движение представляет собой результат очень большого числа взаимодействий, каждое из которых даёт малый эффект. Допустим также, что среднее число столкновений в слое бесконечно малой толщины dt равно и что в каждом столкновении происходит отклонение на угол , определяемый распределением вероятности pd; пусть этому распределению соответствует среднеквадратичное отклонение
–
^2
p(
)d(
)
=
^2
(12.65)
(мы будем обозначать ^2 через R).
Ограничимся изучением проекции движения на двумерную плоскость, содержащую первоначальный путь частицы. Движение в плоскости, перпендикулярной ей, будет происходить аналогично, а движение в любой из плоскостей можно рассматривать независимо друг от друга. Обозначим через t глубину проникновения частицы в пластинку; пусть — угол мгновенного направления движения в рассматриваемой плоскости, а x — отклонение частицы от первоначальной траектории, как указано на фиг. 12.1. Эти параметры связаны соотношением dx= или x=.
Мы предполагаем, что отклонения частицы на угол происходят внезапно, так что =f(t), где функция f представляется суммой -функций со случайными значениями времени и случайными относительными коэффициентами. Это означает, что x=f(t) и Pf[f(t)] обладает характеристическим функционалом
=
exp
–
{1-W[k(s)]}
ds
,
(12.66)
где
W[]
=
p(
)
e
i
d
.
(12.67)
Заметим, что среднее значение углового отклонения считается равным нулю, а сами эти отклонения предполагаются малыми. Если теперь разложить G, так что
W[]
=
p(
)
1+i
–
^2
2
^2
+…
d
,
(12.68)
и ограничиться только членами не выше второго порядка по , т.е. положить W[]=1-^2^2/2, то функционал (12.66) будет иметь вид
=
exp
–
1
2
R
[k(s)]^2
ds
.
(12.69)
А
P
f
[f(t)]
=
exp
–
1
2R
[f(t)]^2
dt
(12.70)
и, следовательно,
P
x
[x(t)]
=
const·exp
–
1
2R
T
0
[x(t)]^2
dt
(12.71)
Мы должны вычислить распределение P(D,), определяющее вероятность того, что частица будет выходить из пластины под углом и смещением D, если при входе в пластину она имела x(0)=0 и x(0)=0. Нас интересует не точная траектория частицы в веществе, а только условия выхода x(T)=D и x(T)=. Поэтому выразим искомое распределение в виде интеграла по всем траекториям:
P(D,)
=
exp
–
1
2R
T
0
x^2
dt
Dx(t)
,
(12.72)
где все траектории, по которым берётся интеграл, удовлетворяют предполагаемым граничным условиям. Этот интеграл гауссовой формы можно вычислить методами, развитыми в § 5 гл. 3. Он имеет экстремум для траектории
....
x
(t)
=
0
.
(12.73)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее нашим граничным условиям, имеет вид
x(t)
=
(3D-T)
t
T
^2
+
(T-2D)
t
T
^3
.
(12.74)
Подставив его в показатель экспоненты в (12.72), получим
1
2R
T
0
x^2
dt
=
6
RT^3
D
–
T
2
^2
+
^2
2RT
.
(12.75)
Отсюда следует искомое распределение
P(D,)
=
const·exp
–
6
RT^3
D
–
T
2
^2
+
^2
2RT
.
(12.76)