Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

Наиболее простыми являются те интегралы по траекториям, в которых показатель экспоненты содержит переменные в степени не выше второй. Мы будем называть такие интегралы гауссовыми. В квантовой механике это соответствует случаю, когда действие S является квадратичной формой от траектории x(t).

Чтобы проиллюстрировать, как действует в этом случае наш метод, рассмотрим частицу, лагранжиан которой имеет вид

L=

a(t)x^2+

b(t)xx+

c(t)x^2+

d(t)x+

e(t)x+

f(t).

(3.44)

Действие представляет собой интеграл по времени от этой функции между двумя фиксированными

конечными точками. Фактически лангранжиан в этой форме является несколько более общим, чем это необходимо. В тех членах, где множитель x входит линейно, он может быть исключён интегрированием по частям, однако это обстоятельство сейчас для нас несущественно. Мы хотим определить

K(b,a)=

_b

^a

exp

i

h

t_b

t_a

L(x,x,t)dt

Dx(t)

(3.45)

— интеграл по всем траекториям, соединяющим точки (x_a,t_a) и (x_b,t_b).

Конечно, можно выполнить интегрирование по всем этим траекториям тем способом, который был описан вначале, т.е. путём разбиения области интегрирования на короткие временные интервалы и т. д. Пригодность этого способа для вычислений следует из того, что подынтегральное выражение представляет собой экспоненту от квадратичной формы переменных x и x. Такие интегралы всегда могут быть вычислены. Однако мы не будем проводить эти утомительные вычисления, так как наиболее важные характеристики ядра K можно определить следующим образом.

Пусть x(t) — классическая траектория между некоторыми фиксированными конечными точками. Это — путь, вдоль которого действие S экстремально. В обозначениях, которые мы применяли ранее,

S

_кл

[b,a]

=

S[

x

(t)].

(3.46)

Величину x можно выразить через x и новую переменную y

x=

x

+y.

(3.47)

Это означает, что каждая точка на траектории определяется уже не её расстоянием x(t) от произвольной координатной оси, а отклонением y(t) от классической траектории, как это показано на фиг. 3.7.

Фиг. 3.7. Разность между классической траекторией x(t) и одной из альтернативных траекторий x(t), описываемая функцией y(t).

Поскольку обе эти траектории должны совпадать в начальной и конечной точках, то y(t_a) = y(t_b) = 0. Между этими крайними точками функция y(t) может иметь любой вид. Так как классическая траектория полностью фиксирована, то любое изменение альтернативной траектории x(t) эквивалентно соответствующей вариации разностной функции y(t). Поэтому в интеграле по траекториям дифференциал Dx(t) можно заменить на Dy(t), а траекторию x(t) — на x(t) + y(t).

При интегрировании по траекториям величина x(t) остаётся в этом случае постоянной. Кроме того, описывающая траекторию новая переменная y(t) ограничена тем, что в крайних точках она равна нулю. Указанная подстановка приводит к интегралу по траекториям, не зависящему от положения крайних точек a и b.

В каждый момент

времени t переменные x и y различаются на постоянную величину x (конечно, для разных моментов времени эта постоянная различна). Поэтому dx_i=dy_i для каждой выделенной точки t_i. В общем можно сказать, что Dx(t)=Dy(t).

Интеграл действия можно записать в виде

S[x(t)]=

S[

x

(t)+y(t)]=

t_b

t_a

[a(t)+(

x

^2+

2

x

y+

y^2)+…]dt.

(3.48)

Если сгруппировать все члены, не содержащие y, то в результате интегрирования получим S[x(t)]=S_кл. Интеграл от суммы членов, пропорциональных первой степени y, равен нулю. Это может быть проверено непосредственным интегрированием (для этого требуется выполнить интегрирование по частям), однако такое вычисление не обязательно, так как мы уже знаем, что результат правилен. Действительно, функция x(t) выбрана таким образом, что вариации траектории в первом порядке вблизи x(t) не изменяют действие S. Все, что остаётся, имеет второй порядок по у и легко отделяется, так что можно написать

S[x(t)]=

S

_кл

[b,a]+

t_b

t_a

[a(t)y^2+

b(t)yy+

c(t)y^2]dt.

(3.49)

Интеграл по траекториям не зависит от вида классической траектории, поэтому ядро можно представить в виде

K(b,a)=

exp

i

h

S

_кл

[b,a]

x

x

₀

⁰

exp

t_b

t_a

[a(t)y^2+

b(t)yy+

c(t)y^2]dt

Dy(t).

(3.50)

Так как в начальных и конечных точках всех траекторий y=0, то интеграл по траекториям может быть представлен функцией только от моментов времени в конечных точках. Это означает, что ядро можно записать в виде

K(b,a)=

e

^{(i/h)S_кл[b,a]}

F(t

_a

,t

_b

),

(3.51)

т.е. оно определяется с точностью до функции, зависящей от t_a и t_b. В частности, его зависимость от пространственных переменных x_a и x_b оказывается полностью выясненной. Необходимо отметить, что зависимость ядра от коэффициентов при линейных членах d(t) и e(t) от свободного члена f(t) также полностью известна.

Такое положение представляется характерным для различных методов вычисления интегралов по траекториям; при помощи общих приёмов могут быть получены многие результаты, однако оказывается, что часто не удаётся полностью определить экспоненциальный коэффициент. Он должен отыскиваться из других известных свойств решения, например посредством соотношения (2.31).