Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

Интересно отметить, что приближённое выражение K~exp(iS_кл/h) является точным в случае, когда S представляет собой квадратичную форму.

Задача 3.6. Учитывая, что лагранжиан свободной частицы является квадратичной формой, покажите, что

K(b,a)=

F(t

_a

,t

_b

)

exp

im(x_b– x_a)^2

2h(t_b– t_a)

(3.52)

(см.

задачу 2.1), и приведите соображения в пользу того, что функция F может зависеть только от разности F=F(t_b– t_a).

Задача 3.7. Дальнейшая информация о функции F может быть получена на основе свойства, выраженного равенством (2.31). Прежде всего заметим, что результаты решения задачи 3.6 позволяют записать функцию F(t_b– t_a) как F(t), где t — интервал времени (t_b– t_a). Используя это представление функции F в выражении (3.52) и подставляя последнее в равенство (2.31), выразите функцию F(t+s) через F(t) и F(s), где t=t_b– t_c и s=t_c– t_a. Покажите, что если функцию F записать в виде

F(t)=

m

2iht

1/2

f(t),

(3.53)

то новая функция f(t) должна удовлетворять уравнению

f(t+s)

=

f(t)f(s).

(3.54)

Это означает, что f(t) должна иметь вид

f(t)=e

^at

,

(3.55)

где a может быть комплексной величиной, т.е. a=+i. Из изложенных до сих пор принципов трудно получить большую информацию о функции f(t). Однако специальный выбор нормировочной константы A, как это указано в (2.21), означает, что в первом приближении по функция f=1. Это соответствует тому, что величина a в выражении (3.55) полагается равной нулю. Окончательный вид функции F(t) согласуется с выражением (3.3).

Из этого примера ясно, каким образом можно установить важные свойства интегралов по траекториям, даже если подынтегральные выражения являются весьма сложными функциями. Во всех случаях, когда подынтегральное выражение представляет собой экспоненциальную функцию, зависящую от траектории в степени не выше второго порядка, можно получить полное решение, исключая, может быть, лишь некоторые простые множители. Это остаётся верным независимо от числа переменных. Так, например, интеграл по траекториям вида

_b

^a

_d

^c

…

_l

^k

exp{E[x(t),y(t),…,z(t)]}

Dx(t)Dy(t)…Dz(t)

(3.56)

содержит в качестве определяющего сомножителя экспоненту exp (E_кл), где E_кл — экстремальное значение E, определяемое граничными условиями. Единственное ограничение состоит в том, что величина E является функцией второго порядка от переменных x, x и т.д. Остающийся сомножитель представляет собой функцию времени в конечных точках траекторий. Для большинства интегралов, которые мы будем изучать, наиболее существенная информация содержится в основном в экспоненциальном члене, а не в этом

сомножителе, который в большинстве практических случаев нам даже не потребуется вычислять. Такой метод вычисления интегралов по траекториям будет часто использоваться в последующих главах.

§ 6. Движение в потенциальном поле

Простое применение наш метод находит в классическом пределе, когда действие S очень велико по сравнению с постоянной Планка h. Как мы уже подчёркивали, ядро K в этом случае приблизительно пропорционально экспоненте exp (-iS_кл/h). Мы можем теперь математически более строго рассмотреть обоснования такого приближения. Поскольку существенными являются лишь траектории, которые очень близки к классической траектории x, сделаем подстановку x=x+y. Тогда, если частица движется в потенциальном поле V(x), мы можем записать

V(x)=

V(

x

+y)=

V(

x

)+

yV'(

x

)+

y^2

2

V''(

x

)+

y^3

6

V'''(

x

)+

…,

(3.57)

где штрих обозначает дифференцирование по x и все производные вычисляются в точках классической траектории x. Так как важны лишь малые значения y, будем предполагать, что V — достаточно гладкая функция, так что можно пренебречь членами порядка y^3 и выше. Это означает, что член y^3V''' и все члены более высокого порядка пренебрежимо малы по сравнению с удержанными членами.

В этом предположении подынтегральное выражение можно представить в виде квадратичной формы от y. Действительно, так как вдоль траектории x действие S экстремально, то

S=S

_кл

+члены второго порядка по y.

Главный член в окончательном результате равен exp (iS_кл/h) где S_кл теперь, очевидно, содержит потенциал V(x) в точках классической траектории. Остающийся интеграл по y берётся от точки 0 до точки 0 и имеет тот же вид, что и последний множитель в выражении (3.50). Этот множитель является гладкой функцией, стоящей перед экспонентой exp (iS_кл/h).

Полученный результат справедлив не только в классическом пределе, но и в других случаях. Предположим, например, что потенциал V — квадратичная функция x. Тогда решение является точным, поскольку разложение потенциала V в ряд (3.57) не содержит степеней выше второй. Некоторые примеры такого типа даны в задачах. В качестве другого примера предположим, что потенциал V — медленно меняющаяся функция. В частности, если третья и более высокие производные крайне малы, то приведённый выше результат является очень хорошим приближением. Этот частный случай в квантовой механике называется ВКБ-приближением ⁴).

⁴) По именам физиков Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна, исследовавших это приближение,— Прим. ред.

Существуют и другие случаи, когда рассматриваемое приближение оказывается хорошим. Предположим, что полное время движения очень мало. Если частица движется по траектории, сильно отличающейся от классической, то она должна иметь очень большую дополнительную скорость (чтобы за указанный интервал времени пройти расстояние от начальной до конечной точки). Добавочная кинетическая энергия пропорциональна квадрату этой большой скорости, а действие содержит член, грубо говоря, пропорциональный произведению кинетической энергии и интервала времени (т.е. пропорциональный квадрату скорости, умноженному на интервал времени). Действие вдоль таких траекторий будет очень большим, и фазы амплитуд вероятности для близлежащих траекторий будут сильно различаться. В этом случае в разложении потенциала V снова целесообразно отбросить члены более высокого порядка.