Квантовая механика и интегралы по траекториям, Фейнман Ричард Филлипс

Квантовая механика и интегралы по траекториям

на обложку

Фейнман Ричард Филлипс

Шрифт:

Что за множитель появляется перед экспонентой в выражении (3.28)? Если проинтегрировать это выражение по всей области изменения x от - до +, то в результате получим

P(для всех x)=

2hT

(3.33)

Эта величина есть, очевидно, вероятность того, что частица проходит сквозь щель, так как при интегрировании включаются те и только те частицы, которые действительно прошли сквозь щель. Существует и другой способ получения этого результата. Предположим, что мы знаем квадрат модуля ядра K(x0+y,T;0,0), составляющего вторую половину подынтегрального выражения (3.20). Это есть не что иное, как отнесённая к единице длины вероятность

попадания частицы в точку щели x0+y

P(x

+y)dy=

2hT

dy.

(3.34)

Эта вероятность в пределах щели не зависит от координаты; следовательно, умножив её на ширину этой щели, мы получили бы полную вероятность попадания частицы в щель. Это означает, что эффективная ширина гауссовой щели равна b. Если бы мы использовали первоначальную щель с резкими границами, то эффективная ширина получилась бы равной 2b.

Задача 3.3. Возведя в квадрат амплитуду, заданную выражением (3.20), и интегрируя затем по x, покажите, что вероятность прохождения частицы сквозь нашу первоначальную щель

P(пройти сквозь щель)=

2hT

2b.

(3.35)

В ходе решения этой задачи появится интеграл

–

iax

dx,

(3.36)

который является интегральным представлением дираковской -функции (a) 1).

1) См. таблицы интегралов в приложении к этой книге и в [2].

Таким образом, квантовомеханические результаты согласуются с представлением о том, что вероятность прохождения частицы сквозь щель равна вероятности попадания этой частицы в щель.

Импульс и энергия. Убедимся теперь ещё раз в том, что когда импульс частицы известен точно, соответствующая ей амплитуда изменяется как eikx. Для этого вернёмся к подробному изучению амплитуды, заданной выражением (3.26). На этот раз попытаемся создать в нашем эксперименте такие условия, чтобы скорость частиц после прохождения щели была известна настолько точно, насколько это возможно.

Совершенно независимо от каких-либо квантовомеханических соображений существует классическая неопределённость скорости порядка b/T. При любой заданной ширине щели, выбирая время T очень большим, можно сделать эту неопределённость пренебрежимо малой. Координату x0 можно также взять настолько большой, чтобы при этом средняя скорость x0/T=v0 не обращалась в нуль. Считая v0 и интервал времени постоянными, в пределе при T-> получаем следующее выражение для амплитуды:

(x)

const

(1+h/2mb^2) 1/2

exp

imx^2

m^2(x-v0)^2

4h^2^2(im/2h-1/2m^2)

(3.37)

Далее мы должны сделать так, чтобы квантовомеханическая неопределённость импульса h/m стала очень малой. Выберем для этого ширину щели настолько большой, чтобы величиной 1/m^2 можно было пренебречь. Тогда амплитуда может быть записана в виде

(x)

const·exp

imv0

imv0^2

(3.38)

Это весьма важный результат: если мы создали условия, при которых известно, что импульс частицы равен p, то амплитуда вероятности достижения ею точки x в момент

времени t

(x)

const·exp

px-

p^2

(3.39)

Мы видим, что это волна с определённым волновым числом k=p/h. Кроме того, она имеет определённую частоту =p^2/2mh. Следовательно, можно утверждать, что в квантовой механике свободная частица с импульсом p обладает энергией, определяемой как произведение частоты на постоянную h, которая, так же как и в классической механике, равна p^2/2m.

Вероятность попадания в какую-либо точку p, пропорциональная квадрату модуля соответствующей амплитуды, в этом случае оказывается не зависящей от p. Следовательно, точное знание скорости частицы означает, что о её положении ничего не известно. При выполнении эксперимента, который даёт нам точное значение скорости частицы, утрачивается возможность точного определения её положения. Мы уже видели, что справедливо и обратное утверждение. Существование квантовомеханического уширения, обратно пропорционального ширине щели 2b, означает, что точное знание положения частицы исключает всякие сведения о её скорости. Таким образом, если вы знаете, где частица находится, то не можете сказать, как быстро она движется; если же вам известно, как быстро она движется, то нельзя сказать, где она. Это ещё одна иллюстрация принципа неопределённости.

§ 3. Результаты в случае щели с резкими краями

От предельного случая вернёмся теперь к случаю, когда ширина щели и квантовомеханическое уширение сравнимы по их величине, а времена и расстояния не слишком велики. Мы уже видели, что гауссова щель приводит к гауссову распределению. Если использовать более реальную щель с резкими краями и вычислить возникающие интегралы Френеля, то распределение вероятности спустя время после прохождения щели подобно кривым, изображённым на фиг. 3.6.

Фиг. 3.6. Распределение электронов после прохождения щелей с резкими краями и различной шириной.

В каждом случае вертикальной пунктирной линией показана предсказываемая классической теорией ширина распределения b1=b(1+/T). Для отношения классической ширины распределения к квантовомеханическому уширению x1 выбраны три различных значения: b1/x1 = 15 — кривая a; b1/x1 = 1 — кривая б; b1/x1 = 1/15 — кривая в. В каждом случае распределение простирается за границы классической ширины. Среднеквадратичная ширина распределения приблизительно пропорциональна величине x=[(x1)^2+(b1)^2] 1/2 .