Логика для юристов: Учебник.

Ивлев Юрий Васильевич

б) , , , , — логические термины (логические константы);

в) (,) — скобки.

Определение формулы:

а) пропозициональная переменная есть формула;

б) если А есть формула и В есть формула, то A, (А В),(A B), (А В), (А В) — формулы;

в) ничто иное не есть формула.

Согласно определению, выражения (рq), ((рq) (р r)), p, r являются формулами, а выражения (p q) , r , (р s) —

нет.

Примем соглашения об опускании скобок в формулах. Будем опускать внешние скобки. Условимся считать, что знак связывает теснее, чем знаки , , , ; знак — теснее, чем , , ; — теснее, чем , ; теснее, чем . Исходя из сказанного, в формулах ((рq) (rs)), (р (р q)) можно опустить скобки следующим образом:

р q r s, р (р q).

Упражнение 4

Восстановите скобки в следующих формулах:

1. р q r;

2. q ( p r) q;

3. р q р r р q;

4. р q r р (q r).

При табличном построении логики высказываний логические константы определяются посредством таблиц истинности. При этом принимается, что каждое высказывание имеет одно значение — или “истина”, или “ложь”.

Приведем эти табличные определения логических констант еще раз:

А	В	А В	A В	А В	А В
и	и	и	и	и	и
и	л	л	и	л	л
л	и	л	и	и	л
л	л	л	л	и	и

Назовем формулу, являющуюся пропозициональной переменной, элементарной, формулу, содержащую логические константы, — сложной. В сложной формуле можно выделить логическую константу, называемую главной логической константой формулы. Поясним, как это можно сделать.

Каждую сложную

формулу логики высказываний можно единственным образом представить в виде А, или А В, или A В, А В или А В. Буквами А и В здесь обозначаются формулы, являющиеся частями сложной формулы. Подформулы, конечно, в свою очередь могут быть сложными формулами.

Представив таким образом сложную формулу, мы выделяем в ней последнюю по построению логическую константу, которая и называется главной логической константой формулы.

Найдем главную логическую константу формулы p q p q.

Восстановим скобки в этой формуле:

(( p q) (р q)).

Эту формулу единственным образом можно представить в форме А В. Ее главным знаком является знак импликации. Можно представить в виде “дерева” процесс построения этой формулы:

р	q
i	^
^р	<l	Р
1^	^	^	^
Ьр	V	(pn^q)
2	4
^	i

p q

V V

p q p q

1V V V 3V

( p q) (p q)

2 4

V V

(( p q)(p q))

5

Стрелки показывают, что из формул (или формулы), от которых они направлены, образована формула, к которой они направлены. Цифры под логическими константами указывают порядковый номер константы по построению формулы. Последняя по построению константа имеет номер 5.

Упражнение 5

Найдите главную логическую константу в каждой из следующих формул.

1. (р q) r р r;

2. р q r р ( q r);

3. ((p q) q) q;

4. (р р ).

Построим таблицу истинности для формулы р q q. В таблице под главной константой формулы будем писать истинностные значения формулы в целом. В этой формуле главной логической константой является знак импликации. Чтобы установить истинностные значения всей формулы, необходимо установить истинностные значения подформул, составляющих ее, т.е. формул р q и q. Истинностные значения этих формул будем соответственно писать под логическими константами и . В результате получим таблицу истинности: