Логика для юристов: Учебник.
Шрифт:
((p q) ( q r)) s p
л и и л и и и л л
Тогда
((p q) ( q r)) s p
л
Формула принимает значения “л” при значениях “л”, “л”, “и”, “и” соответственно переменных р, q, r и s.
Очевидно, что при значении “и” переменной эта формула принимает значение “и”. Формула принимает как значение “л”, так и значение “и”, а следовательно, является выполнимой, но не общезначимой.
Рассмотрим формулу:
((p q) ( q r)) p r
Чтобы доказать, что формула является общезначимой, будем рассуждать от противного. Предположим, что она не общезначима, т.е. при некотором наборе значений переменных принимает значение “л”. Это возможно, если ее антецедент, а следовательно, каждый член конъюнкции принимает значение “и”:
((p q) ( q r)) p r
и и и и и л л
((p q) ( q r)) p r
и и и и л и л и и л л
Приходим к противоречию, так как в этом случае, чтобы антецедент импликации оставался истинным, первому вхождению переменной q следует приписать значение “и”, а второму — “л”. Следовательно, формула является общезначимой.
Упражнение 7
Являются ли правильными следующие рассуждения?
1. Если философ — дуалист, то он не материалист. Если он не материалист, то он диалектик или метафизик. Он не метафизик. Следовательно, он диалектик или дуалист.
2. Если это преступление совершил Иванов, то он знает, где находятся похищенные деньги. Иванов не знает, где находятся похищенные деньги, но знает, где находятся похищенные вещи. Иванова видели на месте преступления примерно в то время, когда преступление было совершено. Следовательно, Иванов не совершал этого
3. Если данное явление психическое, то оно обусловлено внешним воздействием на организм. Если оно физиологическое, то оно тоже обусловлено внешним воздействием на организм. Данное явление не психическое и не физиологическое. Следовательно, оно не обусловлено внешним воздействием на организм.
4. Если человек принял какое-то решение и он правильно воспитан, то он преодолеет все конкурирующие желания. Человек принял решение, но не преодолел некоторых конкурирующих желаний. Следовательно, он неправильно воспитан.
5. “Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал Смита этой ночью, и убийство имело место после полуночи. Если убийство имело место после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Следовательно, Смит был убийцей.” (Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1971. С. 31)
6. “Если капиталовложения останутся постоянными, то возрастут правительственные расходы или возникнет безработица. Если правительственные расходы не возрастут, то налоги будут снижены. Если налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то безработица не возрастет. Следовательно, правительственные расходы возрастут.” (Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1971. С. 31)
Упражнение 8
Осуществите обоснование приведенных выше правильных модусов умозаключений посредством таблиц истинности.
Еще один способ установления отношения логического следования между суждениями, а также и других отношений, заключается в следующем:
суждения переводятся на язык логики высказываний;
для формул, соответствующих суждениям, строятся сравнимые таблицы истинности;
устанавливаются виды отношений между суждениями на основе следующих определений:
1) суждения совместимы по истинности, если и только если в сравнимых таблицах есть строка, в которой все формулы имеют значение “истина”;
2) суждения совместимы по ложности, если и только если в сравнимых таблицах есть строка, в которой все формулы имеют значение “ложь”;
3) из суждений А1, А2 , ..., An следует суждение В, если и только если в сравнимых таблицах нет строки, в которой все формулы, соответствующие суждениям А1, А2 , ..., An, имеют значение “истина”, а формула, соответствующая суждению В, имеет значение “ложь”.
Остальные отношения являются производными по отношению к названным.
Пример: Пусть переводами трех суждений являются, соответственно, формулы r р, p q r, q. Построим для этих формул таблицы истинности таким образом, чтобы эти таблицы можно было сравнивать. Для этого выпишем вначале все переменные, входящие в какие-либо из этих формул. Это переменные р, q, r . Число строк таблиц = 23 = 8. Строим таблицы: