б. Предположим, как и в первом разделе пройденной главы, что
является матрицей перехода для популяции лесов в засушливый год, а
– матрицей для влажного года. Затем, если первый год сухой, а второй влажный, имеем
. Как выразить
через
? Как найти
зная
?
Объедините полученные результаты, чтобы объяснить, как найти
через
. Как это доказывает, что
?
2.2.12. Пусть лес состоит из двух видов деревьев,
и
. Каждый год
числа деревьев вида
заменяются деревьями вида
, в то время как
деревьев вида
заменяются деревьями вида
. Численность остальных деревьев не меняется.
а. Пусть
и
обозначают количество деревьев каждого типа в год
. Выразите
и
через
и
.
б. Запишите уравнения из пункта (а) в матричном виде.
в. Используйте пункт (б) для получения формулы, выражающей
и
через
и
.
г. Выразите
и
через
и
в матричной форме.
д. Предположим, что
и
. Вычислите вручную
и
для
. Используйте MATLAB для самопроверки и продрожите счет до
. Что происходит с популяцией?
е. Выберите несколько разных значений
и
. Используйте MATLAB для анализа динамики популяции с течением времени. Как результаты соотносятся с результатами пункта (д)?
2.3. Собственные векторы и собственные значения
Вернемся к модели леса, представленной в разделе 2.1 этой главы. Напомним, что уравнением
, при
, моделировали численность двух типов деревьев в лесу.
Вектор
, описывающий численность популяции, к которой лес приблизился в ходе машинного эксперимента, характеризуется тем свойством, что
. Убедитесь в этом путём непосредственного вычисления. Используя терминологию главы 1, можно назвать
вектором равновесия для данной модели.
На самом деле, существует еще один вектор, который ведёт себя хорошо почти так же, как
для этой конкретной модели. А именно, если
, то
. Проверить это тоже можно непосредственными вычислениями. Хотя
и не является равновесием, он демонстрирует довольно простое поведение при умножении на матрицу
– эффект от умножения
на
точно такой же, как при умножение его на скаляр
.
Определение.
Если
– квадратная матрица порядка
, и
– ненулевой вектор арифметического пространства
, а
– скаляр такой, что
, то
называется собственным вектором матрицы
, а
называется собственным значением.
Почему требуется, чтобы собственные векторы не были нулевым вектором? Да просто потому, что
для любых действительных чисел
. А когда собственный вектор
, с ним может быть связано только одно собственное значение
.
Используя эту терминологию, приведенная выше матрица
имеет собственный вектор
с собственным значением
и собственный вектор
с собственным значением
.
Заметим, однако, что, как и
, векторы
,
и
тоже являются собственными векторами
с собственным значением
. Однако, поскольку названные векторы являются скалярно кратными друг другу, это может показаться не удивительным. Что объясняет следующая теорема.
Теорема. Если
является собственным вектором матрицы
с собственным значением
, то для любого скаляра
вектор
тоже является собственным вектором матрицы
с тем же собственным значением
.
Доказательство. Если
, то
.
Практическим следствием этого является тот факт, что, хоть и можно говорить о паре
как о «собственном» векторе
с собственным значением
, например, на самом деле это не означают, что существует только один такой собственный вектор. Любой ненулевой скалярно кратный ему вектор вида
также является собственным вектором.
Понимание сути собственных векторов имеет решающее значение для понимания линейных моделей. В качестве первого шага к пониманию того, почему так происходит, рассмотрим, что будет если начальные значения линейной модели задать собственным вектором. Рассмотрим модель
, для которой
. Затем, положив
, получаем таблицу 2.2.
Таблица 2.2. Прогон линейной модели с собственным вектором в качестве начальных значений.
0
1
2
3
… …
Строки в таблице 2.2 описываются одной формулой
. Это означает, что, когда начальный вектор является собственным вектором, моно вывести простую формулу для всех последующих значений
. Заметим, что эта формула использует скалярную экспоненту точно так же, как было в соответствующей формуле из линейной модели главы 1. Единственное различие заключается в том, что экспонента умножается на собственный вектор начальных значений популяции, а не на единственное начальное значение популяции, используемое в главе 1.