Математические модели в естественнонаучном образовании

Соломатин Денис

Рисунок 2.3. Две симуляции линейной модели обнаруживают схожие качественные характеристики, несмотря на разные начальные значения.

Стабильное распределение ступеней модели задается вектором

. Несмотря на то, что популяция продолжает расти, по прошествии достаточного количества времени можно наблюдать популяцию из двух классов примерно в постоянной пропорции

. То есть на каждого взрослого будет около

 незрелых.

Было

доказано много теорем о конкретных типах матриц, появляющихся в моделях Лесли и Ашера. Одной из них является следующая.

Теорема. Модель Лесли, в которой две последовательные возрастные категории являются фертильными (т. е. имеющие как

, так и

), будет иметь положительное реальное строго доминирующее собственное значение и, следовательно, стабильное распределение по возрасту.

Хотя такие теоремы полезны для общих утверждений о том, как должны вести себя популяции, когда дело доходит до какой-либо конкретной модели, всегда необходимо фактически найти собственные векторы и собственные значения.

Завершим параграф небольшим экскурсом в комплексные числа. Как увидите в дальнейшем, вычисляемые в приведённых выше примерах собственные векторы и собственные значения, немного вводят в заблуждение, поскольку собственные векторы и собственные значения часто оказываются с комплексными числами вида

, содержащими вместе с действительными числами

 и

 мнимую единицу

, то есть такое число, для которого

. Ясно, что среди действительных чисел такой единицы не существует. Несмотря на это, дальнейшее обсуждение асимптотического поведения динамических моделей будет возможным, если понять, как вычислить модуль комплексного числа.

Определение. Модуль комплексного числа

 равен

 .

Обратите внимание, что если

, то это обычное значение абсолютного значения для вещественных чисел. Кроме того,

, а

 только тогда, когда

, как и хотелось бы для чего-то, что претендует на измерение числа по абсолютной величине. Менее очевидными свойствами являются перечисленные в теореме:

Теорема. Для любых вещественных чисел

,

а)

б)

в)

.

Обратите внимание, что все три свойства модуля очевидно верны и в частном случае, когда

 и

, тогда абсолютное значение просто означает то, с чем знакомы для вещественных чисел.

Доказательство утверждения (а) представляется как упражнение и просто требует аккуратно выполнить умножения с каждой стороны. Утверждение (б) получается неоднократным применением (a) к самому себе, так как

.

Утверждение (в) также следует из (а), если предварительно умножить уравнение (в) на

, чтобы освободиться от знаменателя.

Чтобы увидеть, как на асимптотическое поведение линейной модели влияют комплексные собственные значения, вернёмся к предыдущему пункту. Даже если некоторые из собственных значений

 являются комплексными числами, в случае, когда

 является строго доминирующим, то есть

 для всех

, рассуждая по свойству (в) теоремы, получим

 как и раньше, а далее

устремится к 0 по мере увеличения t. По свойству (б) теоремы это означало бы, что

 стремится к 0. Поэтому должно быть то, что соответствует 0. Как и прежде видим, что все члены разложения в линейную комбинацию собственных векторов в скобках, за исключением первого, становятся бесконечно малыми по мере увеличения

. Предыдущие рассуждения по-прежнему действительны, даже когда некоторые собственные значения комплексны.

Хотя появление комплексных собственных значений может сначала сбивать с толку, как только поймете, что важно лишь их значение по абсолютной величине, они не создают никаких трудностей для анализа модели. Их присутствие обычно приводит к нерегулярным колебаниям в части поведения модели, так же как колебания вызывали отрицательные собственные значения. Для популяционных моделей строго доминирующее собственное значение всегда будет действительным числом.

Задачи для самостоятельного решения:

2.3.1. Примените MATLAB для исследования модели

, рассмотренной выше. Покажите, что для различных вариантов начальных значений популяции модель ведет себя точно так, как можно было бы предсказать, зная только два её собственных значения.

2.3.2. В MATLAB для вычисления собственных векторов и собственных значений матрицы

 используется следующая команда: [S,D]=eig(A)

Столбцы матрицы

 будут собственными векторами, а соответствующие диагональные элементы матрицы

 их собственными значениями.

Используйте MATLAB для вычисления собственных векторов и собственных значений для матрицы

 для моделирования леса. Совпадут ли они с приведенными в тексте раздела? Объясните возникшее отличие.

2.3.3. Используйте MATLAB для вычисления собственных значений матрицы, приведенной в Разделе 2.2, описывающего модель популяции растений. Объясните, как собственные значения связаны с графиком на рисунке 2.2.

2.3.4. Рассмотрим модель из раздела 2.2, но для другого растения, матрица перехода которого полученная путем замены всех элементов в первой строке и столбце исходной матрицы на 0.

а. С интуитивной точки зрения, каков смысл замены указанных элементов на 0?

б. Вычислите доминирующее собственное значение для каждой модели. Изменились ли внутренние темпы роста? Изменились ли внутренние темпы роста так, как вы и предполагали? Объясните, почему.

в. Если семена мало влияют на внутреннюю скорость роста растения, то почему они, по-видимому, являются благоприятными для вида в целом?

2.3.5. Рассмотрим модель Лесли с

.

а. Размышляя о значении каждого элемента в этой матрице, как вы думаете, описывает ли она растущую или сокращающуюся популяцию? Как полагаете, размер популяции будет меняться быстро или медленно?