Математические модели в естественнонаучном образовании
Шрифт:
б. Вычислите собственные вектора и собственные значения модели с помощью MATLAB.
в. Каковы внутренние темпы роста? Каково стабильное распределение стадий?
г. Выразите начальный вектор
д. Используйте ответ из части (г), чтобы записать формулу для популяционного вектора
2.3.6. Повторите решение предыдущей задачи для модели Ашера при
2.3.7.
2.3.8. Найдите внутренние темпы роста и стабильное распределение по возрасту для модели, описанной задаче 2.2.2. Напомним, что временной шаг для этой модели составлял 5 лет. Как выразить внутренние темпы роста на ежегодной основе?
2.3.9. Предположим, что простая модель разбивает множество всех аспирантов математических специальностей на две группы, не защитивших диссертации и группу защитивших. Только одна шестая часть аспирантов доходит до зашиты и сами становятся научными консультантами, остальные отчисляются. Среднестатистический научный консультант воспитывает пятерых аспирантов на временном этапе. Наконец, три четверти научных консультантов отходят от дел, после защиты своих аспирантов, на каждом временном этапе, в то время как остальные продолжают плодотворную работу.
а. Смоделируйте эту ситуацию с помощью матрицы перехода в линейной модели. Это модель Лесли или Ашера, или ни то, ни другое?
б. Вычислите собственные векторы и собственные значения матрицы перехода с помощью MATLAB.
в. Каковы внутренние темпы роста модели? Каково стабильное распределение двух описанных стадий становления профессионального математика?
2.3.10. Докажите, что модуль комплексных чисел удовлетворяет свойству мультипликативности нормы
Проектные работы:
1. Рассмотрим конкретную модель Лесли с двумя возрастными группами. После интерпретации каждого элемента матрицы исследуйте поведение вашей модели экспериментально, используя MATLAB для различных начальных популяций, включая собственные векторы матрицы. Объясните, как собственные значения и собственные векторы отражаются в поведении, которое видите при построении графиков популяций с течением времени. Повторите исследование для нескольких других матриц.
Рекомендации
Начните с модели Лесли
P=[1/8 6; 1/5 0]
x=[10; 990]
xhistory=x
x=P*x, xhistory=[xhistory x]
x=P*x, xhistory=[xhistory x]
x=P*x, xhistory=[xhistory x]
…
plot(xhistory')
Для различных вариантов начальных популяций опишите, что, по-видимому, происходит с популяциями с течением времени. Численность членов в каждой группе становится больше или меньше? Колеблются ли они? Рассчитайте соотношение незрелых особей к взрослым в разное время. Как меняется это соотношение? Повторите эту работу с несколькими различными вариантами начального вектора. Качественно опишите все виды поведения, которые увидите.
Вычислите собственные векторы и собственные значения матрицы
[S,D]= eig(A)
Используйте первый собственный вектор в качестве начального вектора, введя:
x=S(:,1)
и проведите численный эксперимент, включая
x=S(:,2)
Опишите поведение модели в случае взятия этих значений в качестве начальных векторов. Чем будет отличаться поведение? Что осталось прежним? Как собственные значения влияют на такое поведение?
Как поведение, которое наблюдается при использовании собственных векторов в качестве начальных, отражается на поведении, которое видели при других начальных векторах?
Повторите все вышесказанное на нескольких других моделях, таких как:
Объясните интуитивно, почему каждая из этих моделей демонстрирует то или иное поведение. Затем объясните в терминах собственных значений и собственных векторов матрицы, почему происходит такое поведение.
Охарактеризуйте возможное поведение этих
2. Модели Лесли и Ашера можно использовать для разработки методических рекомендаций, чтобы помочь сокращающимся популяциям восстановиться. Хорошо известным примером этого было исследование популяций морских черепах, которое выполнили Краус и его последователи в 1987 году. В проведённом исследовании с математической точностью обосновывалась необходимость использования специальных устройств для исключения попадания черепах в сети с креветками.
Подобное вмешательство может быть разработано таким образом, чтобы воздействовать на любой из элементов в матрице Лесли, моделирующей популяцию. Поскольку доминантное собственное значение матрицы определяет общую скорость роста, необходимо изучить, как изменения элементов в матрице, влияют на доминантное значение. Определение эффекта небольших изменений в каждом из элементов иногда называют анализом чувствительности. Представьте себе находящуюся под угрозой исчезновения популяцию, сгруппированную в незрелые и зрелые подгруппы и смоделированную моделью Ашера с матрицей
Проанализируйте влияние небольших изменений в каждом из ненулевых элементов матрицы на динамику развития популяции.
Рекомендации
Каково доминирующее собственное значение модели? Как быстро популяция будет увеличиваться или сокращаться, если не будет внесено никаких изменений?
Для матрицы