. Таким образом, с увеличением времени компоненты вектора
будут уменьшаться, хоть и довольно медленно, но до 0.
Есть, по крайней мере, два вопроса, которые вызывают лёгкое недоумение при первом изучении темы: 1) Поскольку численности групп в популяции не могут быть отрицательными, как в этой модели интерпретировать собственный вектор с отрицательными компонентами? 2) Как был найден собственный вектор
? Далее обратимся к первому из этих вопросов, а второй ожидает рассмотрения в следующем разделе.
Зададимся вопросом об интерпретации собственных векторов на примере лесной модели с матрицей
,
которая имеет два собственных вектора. Если начинать моделирование с численности популяции, которая не является одним из собственных векторов, то как тогда использовать собственные векторы, для описания динамики повеления модели?
Ключевая идея состоит в том, чтобы попытаться выразить начальный вектор значений численности популяции в терминах собственных векторов. В частности, учитывая начальный вектор популяции
, найдём два скаляра,
и
, такие, что
.
Задача эквивалентна решению матричного уравнения
.
Заметим, что матрица, появляющаяся в этом уравнении, имеет собственные векторы матрицы
в качестве своих столбцов. Составленное уравнение можно решить при условии, что такая матрица обратима. Итак, была проиллюстрирована 2 x 2- версия следующей теоремы.
Теорема. Пусть
это
– матрица, имеющая
собственных векторов, образующих столбцы матрицы
. Тогда, если
обратима, то любой вектор представим линейной комбинацией собственных векторов.
Пример. Когда проводилось численное исследование модели леса, использовали исходный вектор популяции
. Матрица собственных векторов равна
. Чтобы решить уравнение
, вычисляем
. Таким образом, поучили
. Следовательно,
.
Техническое замечание: не каждая матрица имеет собственные векторы, которые можно использовать в качестве столбцов для формирования обратимой матрицы
. Однако можно доказать, что если матрица не обладает свойством обратимости, то, изменив её элементы на «сколь угодно малую» величину, можно получить матрицу, которая будет обратимой. Более того, «почти все» матрицы в действительности обладают свойством обратимости – если генерировать матрицу случайным образом, то она с вероятностью близкой в 1 имеет свойство обратимости. Последствия этих фактов для применения теории собственных векторов к математическим моделям заключаются в том, что нет необходимости беспокоиться о недостаточном количестве хороших собственных векторов.
Теперь, когда пришло понимание, как выразить вектор начальных значений через собственные векторы, возникает естественный вопрос, где использовать это выражение? Пусть
– матрица
имеет
собственных векторов
, чьи собственные значения равны
соответственно. Представим начальный вектор
как
. Тогда получим,
. Но каждый член последнего выражения представляет собой результат умножения матрицы
на собственный вектор, поэтому
.
Теперь
, и поскольку каждый член это опять-таки результат умножения матрицы
на
собственный вектор, получим
. Продолжая умножение на
, получаем общую формулу
.
Понимание природы собственных векторов позволило найти формулу для вычисления значений
в любой момент времени
. Обратите внимание на сходство этой формулы с соответствующей для мальтузианской модели главы 1. Хотя есть несколько слагаемых, по своей совокупности каждое из них имеет простую экспоненциальную форму, которая уже знакома.
Пример. Для популяции, возникающей в ходе численного эксперимента с моделью леса, ранее уже представлялся
. Теперь можно спокойно вычислить значение вектора
при любом наперёд заданном
.
Таким образом, найдена формула, дающая значения любой из строк в таблице 2.1, которые изначально получались в результате громоздких вычислений. Попробуйте выбрать несколько произвольных значений
, чтобы убедиться в том, как получаются ровно те же результаты, которые ранее были занесены в таблице. Отметим также, что выведенные формулы дают возможность ясно понять, как именно популяция приближается к равновесию в точке
по мере роста значений
.
Как это работает? Что касается собственного вектора, то его умножение на матрицу такое же, как умножение на скаляр (собственное значение). Таким образом, начальные значения, заданные собственными векторами, будут иметь легко прогнозируемое поведение (экспоненциальный рост или спад). Если разложить любой начальный вектор на собственные векторы, то можно понять влияние модели на исходный вектор через его влияние на собственные векторы, как на своеобразные новые базисные вектора линейного пространства, преобразуемого матрицей перехода в данной модели.
Зададимся вопросом асимптотического поведения модели. Зная матрицу перехода
в линейной модели
и зафиксировав вектор начальных значений
, можно найти явную формулу для вычисления значений
: если
являются собственными значениями
соответствующими собственным векторам
, можно выразить
в виде линейной комбинации
и найти
.
Эта форма записи
дает исчерпывающую информацию о модели. Предположим, например, что все
удовлетворяют неравенству
; тогда, степени
стремятся к 0, а численность популяции
также устремлена в
по мере увеличения
. С другой стороны, если хотя бы для одного
имеем
и соответствующий множитель
, то
будет иметь слагаемое экспоненциального роста. Также видим, что отрицательное значение
должно производить некоторую форму колебательного движения, потому что его значение чередуется по знаку. Внимательный анализ формулы таким образом показывает, что собственные значения матрицы перехода в действительности являются ключом к качественному описанию поведения модели.