Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Гомес Жуан

Глава 8

Геометрия В XXI веке

Открытие неевклидовых пространств совершенно изменило роль геометрии. Древняя наука об «измерении форм» проникла во все области человеческого знания. Геометрия превратилась из математического ручейка в полноводное море, она перестала быть ограничена узкими рамками евклидова мира и теперь сама открывает безграничный простор воображению. Из наблюдения за объектами и явлениями возникли различные другие виды геометрии. Именно геометрия повышает сложность науки.

В этой главе мы подробнее — хотя, конечно, не во всей полноте — рассмотрим возрастающую важность геометрии в наше время.

Интегральная геометрия

В

конце XX века появился раздел геометрии, который включил в себя статистику и теорию вероятностей. Эта современная геометрия, совершенно не похожая на евклидову, называется интегральной геометрией. Одним из ее основоположников был Луи Сантало (1911–2001), выдающийся испанский математик и педагог. Как это часто бывает, новая дисциплина возникла при попытке решить классическую задачу. Результаты многолетних исследований Сантало опубликовал в своей книге «Интегральная геометрия и геометрические вероятности».

Задача, известная как «игла Бюффона», с которой началась интегральная геометрия, была сформулирована Жоржем Луи Леклерком, графом де Бюффоном (1707–1788). В 1777 г. граф опубликовал четвертый том своей важнейшей работы «Дополнение к естественной истории». Он включил в него статью со странным названием Essai dArithmetique Moral («Опыт моральной арифметики»). В этой статье граф попытался применить математику к изучению условий жизни человека. Именно там приведена задача об игле Бюффона:

«На листе бумаги имеются горизонтальные прямые линии, расположенные на расстоянии d друг от друга. Мы бросаем иглу длиной l, где l < d. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из линий?»

Эксперимент состоит в том, что на лист бумаги, расчерченный параллельными линиями на расстоянии d друг от друга, бросается игла длиной l. Игла может пересечь одну из параллельных линий, а может и не пересечь. Самым удивительным является то, что этот эксперимент позволяет получить число с хорошим приближением. Эксперимент связывает элементы классической геометрии, такие как области и расстояния, с теорией вероятностей.

* * *

БЮФФОН И МОРАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

Граф де Бюффон был французским интеллектуалом в эпоху Просвещения. Его настоящее имя Жорж-Луи Лекперк, титул графа был пожалован ему Людовиком XV. Граф де Бюффон был выдающимся естествоиспытателем, его главная работа, «Естественная история», содержит 36 томов. Его геологические исследования и попытка определить возраст Земли привели к серьезным проблемам с католической церковью.

Несмотря на то, что он сильно ошибся, его цифра значительно превышала библейские 6000 лет. Его судили, и ему пришлось отречься от своей теории, но втайне он продолжал уточнять свои расчеты. Бюффон был избран членом Парижской Академии наук в 1734 г.

В своей работе «Опыт моральной арифметики» граф попытался измерить эмоции, надежды и страхи человечества. Для этого ему нужно было найти количественные единицы для своих измерений. За основу он выбрал страх смерти, который мог иметь положительное или отрицательное значение (надежда или страх) при перемене знака.

Граф де Бюффон считал азартные игры самой вредной человеческой страстью, и это привело его к изучению сущности вероятности. Будучи знакомым с теорией вероятностей, основы которой заложил Якоб Бернулли в 1713 г., Бюффон связал вероятность с числами, а затем попытался количественно описать влияние вероятности на поведение людей. Эти результаты легли в основу «моральной арифметики».

Граф де Бюффон предположил, что геометрия может быть эффективным инструментом для вычисления вероятностей. Он писал: «Анализ — единственное средство, которым до сего дня пользовались в науке о вероятностях, а геометрия представлялась малопригодной в столь тонком деле. Тем не менее, если обдумать это как следует, нетрудно распознать, что это

преимущество анализа перед геометрией чисто случайно и что шанс находится равным образом в ведении и геометрии, и анализа».

Портрет графа де Бюффона, интеллектуала эпохи Просвещения, написанный Друз в 1753 г.

* * *

Пусть Р — вероятность того, что прямая линия будет пересекаться с иглой, тогда мы имеем:

Если l <= d, то мы имеем (v/n) = (2·l/·d), откуда = (2·l·n)/v·d

Бюффон доказал формулу  = (2·l·n)/v·d прямыми, но очень сложными вычислениями.

Частота, с которой событие происходит, приближается к значению вероятности, то есть значение частоты становится все более и более точным при увеличении количества бросков. Результат Бюффона подвергся серьезной проверке в 1901 г., когда доктор Лазарони бросал иглу 34080 раз и получил значение  = 3,1415929. В настоящее время этот эксперимент можно быстро выполнить с помощью компьютера.

Кроме того, задача Бюффона дает возможность измерять геометрические объекты (длины, площади и т. д.), то есть позволяет формализировать понятие измерения множества линий, плоскостей и т. д. Интегральная геометрия оперирует этими понятиями с большой точностью. Интегральная геометрия широко применяется в биологии и медицине. Например, она лежит в основе компьютерной томографии. В 1979 г. британец Годфри Хаунсфилд получил Нобелевскую премию по медицине за работы по созданию компьютерной томографии на основе интегральной геометрии. Недавняя научная дисциплина, стереология, тоже возникла из интегральной геометрии.

Стереология представляет собой набор научных методов для изучения трехмерного пространства по двумерным сечениям или проекциям на плоскость. Например, она позволяет определить точную форму маски или точную кривизну поверхности. Она используется во всех областях: от статистики и геометрии до медицины и геологии.

От циркуля к компьютерам

Традиционными инструментами евклидовой геометрии являются линейка и циркуль, незаменимые для построения простых фигур. Однако в настоящее время новые технологии позволяют строить более сложные изображения.

Бурное развитие компьютерных технологий позволило нам с помощью компьютеров изображать сложные геометрические структуры и моделировать новые методики, которые невозможно воспроизвести вручную, тем более за разумное время. Эта область математики называется вычислительной геометрией и объединяет математику с новейшими технологиями. У Евклида, конечно, не было возможности работать в этом направлении.

В первой половине XX века казалось, что классическая геометрия уступает свои позиции другой, более абстрактной геометрии. Однако, как ни парадоксально, новые технологии пришли на помощь классической геометрии, которая стала развиваться дальше, объединившись с информатикой. Сегодня часто используются такие выражения, как 2D-проекция или 3D-изображение. Следует отметить, что эти выражения, которыми мы так легко оперируем, относятся к двум евклидовым понятиям: двумерной плоскости и трехмерному пространству.