На волне Вселенной. Шрёдингер. Квантовые парадоксы
Шрифт:
Это уравнение допускает бесконечное множество решений. Некоторые из них приемлемы для математиков, но теряют физический смысл и потому отбрасываются; другие не удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, к примеру тому, что концы струны никогда не колеблются, что струна остается неподвижной до того момента, пока ее не коснутся или пока она не приобретет определенную форму Эти требования сокращают диапазон приемлемых решений, но также они квантифицируют значение частоты (v), с которой колеблется струна. При прикосновении к концам струны решениями являются волны, которые свободно распространяются по струне слева направо. Они могут это делать с любой частотой: тогда v является постоянной величиной. Однако при фиксации струны волны останавливаются между двумя краями, v прерывается и становится дискретной переменной. Диапазон ее значений кратен фундаментальной частоте, v1 звучание струны при этом может приближаться (через р и Т) к чистой музыкальной ноте (рисунок 13).
РИС. 12
РИС. 13
Эти
Чтобы лучше понять волновое уравнение, можно проиллюстрировать колебания струны с помощью серии фотографий. На каждой из них время останавливается, позволяя уловить профиль волны, наподобие изображенного на рисунке 1.
РИС. 1
Расположение струны в момент tr
Затем мы засекаем промежуток времени (ось абсцисс) и вновь отпускаем струну, концентрируя внимание на ее точке и наблюдая изменение ее положения. Изобразим это изменение, учитывая, что струна колеблется сверху вниз. Если мы расположим эти фотографии рядом, то заметим, что последовательность точек образует вторую волну (рисунок 2). Также изменение расположения точки в зависимости от времени может быть представлено таким образом, как на рисунке 3.
РИС. 2
Последовательность рисунков отображает изменение высоты точки струны (зафиксированное положение в момент времени x1).
РИС. 3
Изменение положения струны, колеблющейся снизу вверх, в точке х1
Уравнение
говорит нам, что скорость, с которой изменяется касательная к струне, изображенная на графике ее пространственного изменения
пропорциональна скорости, с которой меняется касательная на графике временного изменения
Если, например, коэффициент Т/р больше 1, волна будет более сжатой на временной оси, чем на пространственной (рисунок 4).
РИС. 4
Если Т/р меньше 1, отношение обратное; если Т = р, касательная изменяется одинаково в пространстве и во времени.
Иными словами, мы видим перед собой классическое описание работы струнного музыкального инструмента,
фундаментальная или первая гармоника
вторая гармоника
третья гармоника
Первая статья Шрёдингера, посвященная структуре атома, называлась «Квантование как задача о собственных значениях» (1926). Под термином «собственное значение» имеется в виду параметр, который является квантованным после наложения на дифференциальное уравнение определенных условий. В этой статье Шрёдингер определенно ссылается на колебания струны. Целые числа, возникающие при рассмотрении атома водорода, получаются «естественным образом, сами по себе, подобно тому как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны. Это новое представление может быть обобщено, и я думаю, что оно тесно связано с истинной природой квантования».
Пришло время вернуться к выражению:
где m — масса электрона и Е — энергия системы. Функция связана с информацией относительно расположения электрона таким способом, который пока еще нельзя объяснить. Функция V(x) представляет любое воздействие Вселенной на электрон. Когда она равна нулю, предполагают, что электрон является свободным, но как только электрон приближается к ядру и оказывается связанным с атомом, функция V(x) перестает быть равной нулю и подчиняется электрическому присутствию протонов:
где Z — число протонов, идентифицирующее атом. Мы располагаем ядро в начале координат (х = 0) таким образом, что переменная х также означает расстояние, отделяющее нас от ядра. Введем это выражение в уравнение Шрёдингера:
Мы можем рассматривать V(x) как произведение постоянной (соединяющей Кc, Z и е^2) и функции расположения 1/х:
где функция 1/х принимает вид как на рисунке 14 (стр. 89), на котором мы видим, что функция 1/х стремится к бесконечности при х = 0 и убывает до исчезновения, когда х становится очень большим числом.
Когда функция У исчезает, электрон становится свободным, и уравнение Шрёдингера сокращается до своей самой простой формы:
Это очень похоже на уже рассмотренное первое дифференциальное уравнение:
Из этого мы делаем вывод, что касательная у пропорциональна значению функции в каждой точке. Именно сейчас проявляется динамика изменения касательной функции . Отметим, что при повышенном значении для Е (электрон с высокой энергией) вторая производная будет больше постоянной . Мы окажемся в ситуации сжатой волны с малой длиной (см. рисунок 11, стр. 80). Если мы возьмем выражение де Бройля = h/p, то малая соответствует большой р (то есть повышенной скорости р = mv). И наоборот, малая Е приводит нас к случаю вытянутой волны, с большой длиной и, таким образом, низкой скоростью: электрон с низкой энергией. В уравнении (1) электрон, не испытывая никакого влияния окружающей среды, находится в состоянии, похожем на состояние свободной струны, и его частота постоянна. К тому же форма очень похожа на волну, распространяющуюся в свободном пространстве. Энергия частицы также не является квантованной и предполагает бесконечный спектр значений.