На волне Вселенной. Шрёдингер. Квантовые парадоксы
Шрифт:
Каждому значению х уравнения соответствует значение у, таким образом появляется множество точек с координатами (х, у), образующих кривую.
Функции с двумя переменными представлены в виде поверхности, размещенной в трехмерном пространстве; с тремя переменными и более — бросают вызов способности человеческого мозга их представить. Как и числа, функции могут подчиняться целому ряду математических условий, и те, которые этим условиям удовлетворяют, становятся решениями уравнения.
Дифференциальные уравнения практически ничем не отличаются от алгебраических, однако их решения разнообразнее (решениями могут быть функции), как и возможные действия (операции включают производные). Например:
РИС. 3
где k —
Древние так сформулировали бы это уравнение: какая функция, будучи дифференцированной, равна константе k, помноженной на ту же функцию? Ответ: у(х) = у0еkx, где у0 = у(0) — дополнительное требование к уравнению.
Само обозначение у(х) подчеркивает зависимость у от х. Производная функции отражает динамику — то, как первая переменная величина меняется с помощью второй. На кривой рисунка 4 (стр. 79) у изменяется прогрессивно при условии, что значение х увеличивается. Чтобы выявить эту динамику изменения, можно использовать касательную, то есть прямую, которая касается кривой функции в одной точке. Наблюдая за углом, который образует касательная к оси абсцисс, мы получаем наглядное представление о значении производной функции. Горизонтальная касательная недвусмысленно говорит о нулевой производной (у не изменяется при изменении х), тогда как касательная, приближающаяся к оси ординат, соответствует производной, движущейся к бесконечности (и очень увеличивающейся с малейшим изменением х). В настоящем случае наклон всех касательных является малым, то есть они постепенно удаляются от абсцисс (рисунок 5).
РИС. 4
РИС. 5
РИС. 6
РИС. 7
РИС. 8
Если бы кривая представляла план участка, мы едва ли заметили бы неровности, шагая по нему Однако переменная величина у некоторых функций изменяется прерывисто (рисунок 6).
Рисуя производные (касательные), мы замечаем, что среди них есть некоторое число вертикальных. По такой поверхности идти довольно сложно (рисунок 7).
Касательные новой функции больше тяготеют к вертикальной оси и не приближаются к горизонтальной, динамика их изменений замедляется в вершинах и впадинах кривой (рисунок 8).
В дифференциальные уравнения также могут быть введены вторичные производные, то есть производные производных. Информация, предоставленная этим повторным действием, говорит о динамике изменений касательной.
Мы видим, что если взять какую-либо функцию, как на рисунке 9, затем ее вытянуть (рисунок 10) и, наконец, сжать (рисунок 11), переменная у принимает одинаковые значения в обоих случаях. Тем не менее на рисунке 10 она это делает таким образом, что касательная изменяется постепенно, при условии, что х растет (ее вторичная производная мала); в обратном случае, на рисунке 11, касательная сильно колеблется (ее вторая производная увеличена).
Когда неизвестная функция зависит от одной переменной, как в случае с у(х), дифференциальное уравнение называется обычным. Когда она зависит от нескольких переменных, как f(x, у) или g(x, у, z), речь идет о дифференциальном уравнении с частичными производными, именно таким является уравнение Шрёдингера, которое зависит, главным образом, от трех пространственных и временной координат.
РИС. 9
РИС. 10
РИС. 11
Производные
Смысл производных помогает расшифровать потаенный язык дифференциальных уравнений. Возьмем уже привычный пример:
с его решением: у(х) =у0еkx.
Возьмем самый простой случай:
Теперь, как можно увидеть из уравнения, касательная пропорциональна значению функции в каждой точке. Решение у(х) = ех представлено на рисунке.
Несколько значений функции:
у(0) = е0 = 1
у(1) = е1 = 2,72
у(2) = е2 = 7,39
у(3) = е3 = 20,09
На самом деле мы констатируем, что у быстро возрастает при увеличении значения х и что у заставляет свою касательную принять такую же динамику (рисунок напротив).
Начиная с XVII века математический механизм, изучавший свойства функций и их производных, стали использовать в физике для прогнозирования, и этот способ предсказания до сих пор был неизвестен в истории науки. Физические соображения выражались в уравнениях, и математика давала ответ на вопрос, где будет располагаться планета Марс через пять столетий или пуля через долю секунды.
При попытке решить физические задачи использовались все грани анализа. Математики шли все дальше в джунгли дифференциальных уравнений, ведь там их ждали открытия.
Одним из первых их любопытство пробудило волновое уравнение. С реальностью его сближала музыкальная теория, поскольку уравнение описывало колебания струны, натянутой между подставкой и колками. Уравнение описывало поведение струны после прикосновения. Применение законов Ньютона вело к следующему выражению с частичными производными:
где р и Т— две постоянные (линейная плотность струны и сила, на нее воздействующая) и где а — пространственная и временная функция, соответствующая вертикальному расстоянию, отделяющему каждую точку струны от горизонтальной плоскости (рисунок 12).