Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Пенроуз Роджер

Подобные идеи были известны задолго до Фарадея, и в ньютоновской механике они составляли весьма заметную часть арсенала теоретиков. Но согласно господствовавшей тогда точке зрения, такие «поля» не рассматривались как реальная физическая субстанция. Их скорее считали своего рода страницами вспомогательной «бухгалтерской книги», в различных точках которых надлежало размещать подходящие частицы. Но фундаментальные явления, наблюдаемые Фарадеем (во время опытов с движущимися витками с током, магнитами и т. п.), привели его к убеждению, что электрическое и магнитное поля совершенно «материальны» с физической точки зрения — и к открытию у переменных полей способности «проталкивать» друг друга через пустое пространство, порождая своего рода бестелесную волну! Фарадей высказал предположение, что' свет может состоять из таких волн. Подобная точка зрения существенно отличалась от господствовавшей в то время «ньютонианской мудрости», которая не считала электромагнитные поля чем-то «реальным», а рассматривала их всего лишь как удобные вспомогательные математические понятия для описания «настоящей» ньютоновской картины «физической реальности» — «действия на расстоянии (дальнодействия) точечных частиц».

Столкнувшись с обнаруженными Фарадеем экспериментальными фактами, а также с более ранними открытиями замечательного французского физика Андре Мари Ампера (1775–1836)

и других исследователей, великий шотландский физик и математик Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879) задумался над математической формой уравнений, описывающих электрические и магнитные поля с учетом обнаруженных экспериментальных фактов. В результате поразительного интуитивного озарения Максвелл предложил внести в уравнения незначительную на первый взгляд поправку, что привело к поистине фундаментальным последствиям. Эта поправка в принципе не могла быть подсказана ему никакими из известных экспериментальных фактов (хотя и находилась в согласии с ними). Выводы Максвелла были результатом собственных теоретический постулатов Максвелла — отчасти физических, отчасти математических, а где-то — даже эстетических. Одно из следствий уравнений Максвелла говорило о том, что электрическое и магнитное поля действительно «проталкивают» друг друга сквозь пустое пространство. Осциллирующее магнитное поле должно было бы порождать осциллирующее электрическое поле (о чем свидетельствовали экспериментальные факты, полученные Фарадеем); а это осциллирующее электрическое поле, в свою очередь, должно создавать осциллирующее магнитное поле (в согласии с теоретическими выводами Максвелла); последнее снова порождает осциллирующее электрическое поле и т. д. (См. рис. 6.26, 6.27 гл. 6, где схематически изображен этот волновой процесс.)

Максвеллу удалось вычислить скорость, с которой этот процесс должен был бы распространяться в пространстве, и она в результате оказалась равной скорости света! Кроме того, эти так называемые электромагнитныеволны интерферировалии обладали удивительной способностью поляризоваться, как и свет (последнее свойство на тот момент было уже давно известно, а мы еще вернемся к нему в главе 6). Помимо объяснения свойств видимого света, для которого длины электромагнитных волн должны были бы лежать в диапазоне 4–7 х 10 ^{– 7}м, Максвелл предсказал существование электромагнитных волн других длин, порождаемых электрическими токами в проводниках. Существование таких волн было экспериментально установлено замечательным немецким физиком Генрихом Герцем в 1888 году. Вдохновенная надежда Фарадея воплотилась в чудесные уравнения Максвелла!

Хотя нам совсем не обязательно вдаваться в подробности уравнений Максвелла, давайте все же окинем их быстрым взглядом:

Здесь Е , В и j — векторные поля, описывающие, соответственно, электрическое поле, магнитное поле и электрический ток; — плотность электрического заряда, а с — постоянная — скорость света [115] . Не стоит огорчаться, если вам не известен смысл обозначений « rot» и « div». Они просто означают различные пространственные вариации полей В и Е . (Обозначения « rot» и « div» представляют собой определенные комбинации частных производных по пространственным координатам. Напомним, что операции взятия «частной производной», обозначаемой символом , мы коснулись в связи с уравнениями Гамильтона.) Операторы / t , стоящие в левых частях двух первых уравнений, по существу означают то же самое, что «точки» в уравнениях Гамильтона (различие в обозначениях вызвано чисто техническими причинами). Таким образом, E / t означает «скорость изменения во времени электрического поля», a B / t означает «скорость изменения во времени магнитного поля».

115

Я выбрал единицы для различных полей так, чтобы они находились в хорошем согласии с той формой, в которой Максвелл первоначально записывал свои уравнения (за исключением того, что его плотность заряда в моих обозначениях выглядела бы как с ^{– 2} ). При другом выборе единиц множители, содержащие с , были бы распределены иначе.

Первое уравнение [116] связывает изменения электрического поля с текущими значениями магнитного поля и электрического тока; тогда как второе, наоборот, описывает изменения магнитного поля в зависимости от величины электрического поля. Третье уравнение, грубо говоря, представляет собой закодированную форму закона обратных квадратов, показывающую, как электрическое поле (в данный момент времени) должно быть связано с распределением зарядов. Что же касается четвертого уравнения, то оно говорит то же самое о магнитном поле (с той лишь разницей, что «магнитные заряды» — отдельные «северные» и «южные» полюсы частиц — не существуют).

116

Именно введение B / t в это уравнение было мастерским штрихом в теоретических рассуждениях Максвелла. Все остальные члены во всех уравнениях, по существу, были известны из опытных данных. Что же касается коэффициента 1 / с ², то он очень мал и поэтому член с B / t не мог быть обнаружен экспериментально.

Уравнения Максвелла несколько напоминают уравнения Гамильтона тем,

что определяют скорость изменения по времени соответствующих величин (электрического и магнитного полей) в зависимости от их текущих значений в любой заданный момент времени. Следовательно, уравнения Максвелла являются по сути детерминистскими— точно так же, как и система уравнений в обычной гамильтоновой теории. Единственное (хотя и важное) различие состоит в том, что уравнения Максвелла полевые, а не корпускулярные. Это означает, что для описания состояния такой системы необходимо бесконечно многопараметров (векторы поля в каждой точке пространства) вместо всего лишь конечного числа параметров (трех координат положения и трех компонент импульса каждой частицы) в корпускулярной теории. Таким образом, фазовое пространство в теории Максвелла бесконечномерно ! (Как я уже упоминал выше, уравнения Максвелла в действительности могут быть включены в общую гамильтонову схему, но из-за их бесконечномерности гамильтонову схему перед этим необходимо слегка обобщить [117] .)

117

Действительно, мы имеем бесконечно много х _i и p _i , но еще одно осложнение возникает в связи с тем, что мы не можем использовать непосредственно значения полей в этих координатах, поэтому для поля Максвелла нам необходимо ввести определенные «потенциалы», чтобы к нему можно было применить гамильтонову схему.

Принципиально новой составляющей в той картине нашего физического мира, которая выстраивалась на основе теории Максвелла (помимо и сверх того, что было известно ранее), стала необходимость рассматривать поля уже не как математические придатки к «реальным» частицам, или корпускулам, в ньютоновской теории — но как самостоятельно существующие объекты. Действительно, Максвелл показал, что когда поля распространяются в виде электромагнитных волн, они переносят с собой определенное количество энергии. Ему удалось получить даже явное выражение для этой энергии. То есть оказалось, что энергию, на самом деле, могли переносить с места на место «нематериальные» электромагнитные волны. Этот факт был экспериментально подтвержден Герцем, сумевшим зарегистрировать электромагнитные волны. То, что радиоволны действительно могут переносить энергию, до сих пор представляется удивительным даже тем, кто в той или иной степени знаком с этим феноменом!

Вычислимость и волновое уравнение

Непосредственно из своих уравнений Максвелл сумел вывести, что в областях пространства, где нет ни зарядов, ни токов (т. е. там, где в приведенных выше уравнениях j = 0 , = 0 ) все компоненты электрического и магнитного полей должны удовлетворять так называемому волновомууравнению. [118] Волновое уравнение можно рассматривать как «упрощенный вариант» уравнений Максвелла, так как оно записано для одной-единственнойвеличины, а не для всех шести компонент электрического и магнитного полей. Решения уравнения Даламбера дают пример волнообразного движения без дополнительных усложняющих свойств наподобие «поляризации» в теории Максвелла (направления вектора электрического поля, см. гл. 6 «Спин фотона»).

118

Волновое уравнение (уравнение Даламбера) представимо в виде

Волновое уравнение представляет сейчас для нас тем больший интерес, что оно было предметом целенаправленного изучения именно в связи с его свойствами вычислимости. Действительно, Мариану Б. Пур-Элю и Яну Ричардсу (Пур-Эль, Ричардс [1979, 1981, 1982], см. также [1989]) удалось показать, что, даже несмотря на детерминистское(в обычиом смысле) поведение решения волнового уравнения — при котором данные в начальный момент времени однозначно определяют решение во все остальные моменты времени — существуют вычислимыеначальные данные некоего «особого» рода, обладающие тем свойством, что для них однозначно рассчитать значения поля в более поздний (вычислимый) момент времени — невозможно. Таким образом, уравнения вполне допустимой физической теории поля (хотя и отличающейся от теории Максвелла, которая действительно «работает» в нашем мире) могут, согласно Пур-Элю и Ричардсу, породить невычислимую эволюцию!

На первый взгляд это кажется весьма удивительным результатом, который вроде бы противоречит тому, о чем я говорил в предыдущем разделе относительно возможной вычислимости «разумных» гамильтоновых систем. Однако, несмотря на то, что поразительный результат Пур-Эля — Ричардса исполнен, несомненно, глубокого математическогосмысла, он все же не противоречит высказанной выше гипотезе — причем по причине, имеющей глубокий физическийсмысл. Причина же эта состоит в том, что начальные условия «особого» рода не относятся к «плавно изменяющимся» [119] , а именно это свойство обычно требуется от каждого поля, имеющего физический смысл. Пур-Эль и Ричардс в действительности доказали, что невычислимость не может возникнутьв случае волнового уравнения, если мы не будем рассматривать поля «особого» рода. С другой стороны, даже если бы такие поля считались допустимыми, было бы трудно понять, как может использовать подобную «невычислимость» любое физическое «устройство» (например, головной мозг человека)? Она могла бы иметь существенное значение только при наличии возможности производить измерения со сколь угодно высокой степенью точности (которые, как я объяснял выше, нереальны с физической точки зрения). Тем не менее, результаты Пур-Эля— Ричардса открывают интригующую область знания, которая до сих пор остается практически нетронутой.

119

Т. е. не имеющие второй производной.