Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики
Шрифт:
Уравнение движения Лоренца; убегающие частицы
Система уравнений Максвелла в том виде, как мы ее выписали, не является, на деле, полной. Эти уравнения великолепным образом описывают распространение электрических и магнитных полей при наличии заданногораспределения электрических зарядов и токов. Эти заряды физически нам даны в виде заряженных частиц— в основном, электронов и протонов, как нам сейчас известно — а токи порождаются движением этих частиц. Если мы знаем, где находятся заряженные частицы и как они движутся, то уравнения Максвелла позволяют определить поведение электромагнитного поля. Но вот что уравнения Максвелла нам не говорят— это как должны себя вести сами частицы. Частичный ответ на этот вопрос был известен еще во времена Максвелла, но удовлетворительной системы уравнений не было до тех пор, пока в 1895 году замечательный голландский физик Хендрик Антон Лоренц, воспользовавшись идеями, близкими к идеям специальной теории относительности, не вывел уравнения движения заряженной частицы, известные ныне как уравнения Лоренца(см. Уиттекер [1910]). Эти уравнения позволяют описывать непрерывные изменения скорости заряженной частицы под действием электрического и магнитного полей в той точке, где она в данный момент находится [120] . Присоединив уравнения Лоренца к уравнениям Максвелла, мы получаем систему уравнений, описывающих эволюцию во времени и заряженных частиц, и электромагнитного поля.
120
Уравнение
Но эта система уравнений, в свою очередь, тоже не безукоризненна. Она дает превосходные результаты, если поля однородны вплоть до масштабов порядка диаметра самих частиц (за единицу измерения диаметра принимается «классический радиус» электрона — около 10 – 15м), а движения частиц не слишком интенсивны. Однако здесь имеется принципиальная трудность, обойти которую при других обстоятельствах становится невозможно. Дело в том, что уравнения Лоренца подразумевают измерения электромагнитного поля в той самой точке, где находится заряженная частица (по существу, такое измерение должно дать нам значение «силы», действующей в этой точке со стороны электромагнитного поля на нашу частицу). Но где следует выбирать эту точку, если частица имеет конечные размеры? Следует ли принять за нужную точку «центр» частицы, или поле («силу») необходимо усреднить по всем точкам поверхности частицы? Если поле неоднородно в масштабе порядка размера частицы, то разный выбор точки может привести к отличающимся результатам. Есть и другая, более серьезная проблема: каково на самом деле электромагнитное поле на поверхности частицы (или в ее центре)? Напомним, что мы рассматриваем заряженнуючастицу. Следовательно, электромагнитное поле, обусловленное самойчастицей, необходимо добавить к «фоновому полю», в котором находится частица. Вблизи самой «поверхности» частицы ее собственное поле становится чрезвычайно интенсивным и легко поглощает все остальные поля в окрестности частицы. Кроме того, собственное поле частицы всюду вокруг нее направлено преимущественно наружу (или вовнутрь), вследствие чего результирующее истинноеполе, на которое по предположению реагирует частица, вовсе не однородно, а в каждой точке на «поверхности» частицы направлено в свою сторону, не говоря уже о «внутренности» частицы (рис. 5.15).
Рис. 5.15.Как можно строго применить уравнения движения Лоренца? Сила, действующая на заряженную частицу, не может быть получена измерением поля в точке нахождения частицы, так как здесь доминирует собственное поле частицы
Дополнительно к этому нам следует выяснить, будут ли отличающиеся по величине силы, которые действуют на частицу, стремиться повернуть или деформировать ее; а также понять, какими упругими свойствами обладает частица: и т. д. (особенно трудны вопросы возникающие в связи с теорией относительности, но я не собираюсь сейчас отвлекать на них внимание читателя). Ясно, что теперь проблема становится намного сложнее по сравнению с тем, какой она казалась нам прежде.
Возможно, нам стоило бы рассматривать частицу как материальную точку. Но такой подход приводит к проблемам другого рода, ибо в непосредственной окрестности точечной частицы ее собственное электрическое поле становится бесконечным. Если, как это следует из уравнений Лоренца, частица должна реагировать на электромагнитное поле в той точке, где она находится, то точечная частица должна испытывать действие со стороны бесконечно большого поля! Чтобы формула Лоренца для величины силы имела смысл, необходимо найти способ, который позволил бы вычитать собственноеполе частицы и оставлять конечное фоновое поле, которое бы однозначно определяло поведение частицы. Такой метод был предложен в 1938 году Дираком (о котором мы еще услышим в дальнейшем). Однако решение Дирака приводило к определенным следствиям, которые не могли не вызывать тревогу. Дирак обнаружил, что для однозначного определения поведения частиц и полей исходя из соответствующих начальных данных, необходимо знать не только начальное положение и скорость каждой частицы, но и ее начальное ускорение(в контексте стандартных динамических теорий такую ситуацию нельзя не признать несколько аномальной). Для большинства значений начального ускорения частица ведет себя самым «сумасшедшим» образом, спонтанно ускоряясь в пространстве до скорости, весьма близкой к световой! Эти «убегающие решения» Дирака не соответствуют ни одному природному явлению. Необходимо найти способ, который позволил бы исключать убегающие решения и правильно выбирать начальные ускорения. Такой выбор возможен всегда, но только при условии, что мы будем пользоваться неким «априорным знанием», т. е. будем задавать начальное ускорение так, будто нам уже известно, какие решения в конце концов станут убегающими, и стараться избавляться от них. Однако в стандартной детерминистской физической задаче начальные данные задаются по-другому — произвольно и без каких-либо ограничений и требований относительно будущего поведения решений. В нашем же случае не только будущее полностью определено данными, заданными в некоторый момент времени в прошлом, но и сам способ задания этих данных весьма жестко ограничен требованием, накладываемым на будущее («допустимое») поведение частиц и полей!
Так обстоит дело, пока мы рассматриваем фундаментальные классические уравнения. Читатель легко поймет, что вопрос о детерминизме и вычислимости в законах классической физики носит раздражающе неясный характер. Действительно ли в физических законах есть телеологическая составляющая, которая заставляет будущее каким-то образом оказывать влияние на происходящее в прошлом? На самом деле, физики обычно не рассматривают подобные следствия из классической электродинамики(теории классических заряженных частиц, а также электрического и магнитного полей) как соответствующие реальности. Стандартный ответ физиков на упомянутые выше трудности сводится к утверждению, что «отдельные заряженные частицы» относятся к области квантовой электродинамики, и что нельзя ожидать получить разумные ответы на подобные вопросы, если использовать строго классическую теорию. Такое утверждение, безусловно, верно — но, как мы увидим в дальнейшем, в самой квантовой теории здесь также возникают проблемы. На самом деле, Дирак исследовал классическую задачу движения заряженной частицы именно потому , что надеялся обнаружить там какие-нибудь новые идеи, способные помочь в разрешении еще более фундаментальных трудностей, возникающих при рассмотрении (физически более адекватной) квантовой задачи. С проблемами квантовой теории нам еще придется столкнуться позднее!
Специальная теория относительности
Эйнштейна и Пуанкаре
Напомним принцип относительности Галилея, который гласит, что физические законы Ньютона и Галилея останутся совершенно неизменными, если от покоящейся системы отсчета мы перейдем в другую, движущуюся равномерно и прямолинейно.
Обеспокоенность этими проблемами привела Эйнштейна в 1905 году — а Пуанкаре даже несколько раньше (в 1898–1905 годах), — к созданию специальной теории относительности. Пуанкаре и Эйнштейн независимо обнаружили, что уравнения Максвелла тожеудовлетворяют некоторому принципу относительности (см. Пайс [1982]), т. е. остаются неизменными при переходе от неподвижной системы отсчета к движущейся, хотя правила такого перехода несовместимы с физикой Галилея-Ньютона! Чтобы сделать их совместимыми, необходимо видоизменить либо одну, либо другую систему уравнений — или же отказаться от принципа относительности. Эйнштейн не собирался отказываться от принципа относительности. Его великолепная физическая интуиция настойчиво подсказывала ему, что принцип относительности должен выполняться для физических законов нашего мира. Кроме того, Эйнштейну было хорошо известно, что практически для всех известных явлений физика Галилея-Ньютона была экспериментально проверена только при скоростях ничтожно малых по сравнению со скоростью света, при которых отмеченная выше несовместимость была несущественной. Только сам свет, как было известно, способен развивать скорости достаточно большие для того, чтобы упомянутые выше «несоответствия» начинали заметно сказываться. Следовательно, именно поведение света могло бы подсказать, какой принцип относительности следует избрать; при этом уравнения, которыми описывается свет — это уравнения Максвелла. Таким образом, выбор следовало бы остановить на принципе относительности для теории Максвелла, а законы Галилея — Ньютона — соответственно, модифицировать!
Лоренц еще до Пуанкаре и Эйнштейна тоже заинтересовался этими вопросами и даже нашел на них частичные ответы. К 1895 году Лоренц пришел к заключению, что силы, связывающие частицы материи, имеют электромагнитную природу (как в действительности и оказалось), поэтому поведение реальные материальных тел должно удовлетворять законам, вытекающим из уравнений Максвелла. Отсюда, в частности, следовало, что тело, движущееся со скоростью, сравнимой со скоростью света, должно претерпевать небольшое сокращение в направлении движения («сокращение Фитцджеральда — Лоренца»). Это вывод Лоренц использовал для объяснения удивительного экспериментального факта, установленного в 1897 году Майкельсоном и Морли, который свидетельствовал о том, что электромагнитные явления нельзя использовать для определения «абсолютной» покоящейся системы отсчета. (Майкельсон и Морли показали, что на скорость света, измеряемую на поверхности Земли, движение Земли вокруг Солнца — вопреки ожиданиям — не влияет.) Всегда ли материя ведет себя так, что ее (равномерное прямолинейное) движение не может быть обнаружено локально? Таким был предварительныйвывод Лоренца; однако Лоренц в своем исследовании ограничился только специальной теорией материи, где не учитывались никакие силы, кроме электромагнитных. Пуанкаре, будучи выдающимся математиком, сумел в 1905 году строгопоказать, что материя должна вести себя именно так, как предполагал в своих теоретических построениях Лоренц — т. е. в соответствии с принципом относительности, лежащим в основе уравнений Максвелла — поэтому равномерное прямолинейное движение вообще не может быть обнаружено локально. Ему также удалось глубоко понять физические следствия из этого принципа (в том числе — явление «относительности одновременности», о котором мы еще поговорим далее). По-видимому, Пуанкаре рассматривал этот принцип лишь как одну из возможностей, и не разделял убеждения Эйнштейна, что определенный принцип относительности должен выполняться.
Принцип относительности, которому удовлетворяют уравнения Максвелла, ставший известным под названием специальной( или частной) относительности( СТО ), довольно труден для понимания и полон противоречащих нашей интуиции моментов, которые на первый взгляд невозможно связать с реальными свойствами окружающего нас мира. Действительно, принципу специальной относительности вряд ли удастся придать смысл, если не воспользоваться еще однойидеей, введенной в 1908 году немецким геометром русского происхождения Германом Минковским (1864–1909), обладавшим в высшей степени незаурядным мышлением и тонкой интуицией. Минковский был одним из преподавателей Эйнштейна в Цюрихском Высшем Политехническом Училище. Его принципиально новая идея состояла в том, что пространство и время следует рассматривать совместно как единую сущность — четырехмерное пространство-время . В своей знаменитой лекции, прочитанной в 1908 году в Геттингенском университете, Минковский провозгласил:
«Таким образом, пространство само по себе и время само по себе обречены исчезнуть, превратившись в бесплотные тени, и только объединение пространства и времени сохранится как независимая реальность».
Попытаемся понять основные положения специальной теории относительности в терминах величественного пространства-времени Минковского.
Одна из трудностей на пути к освоению понятия пространства-времени связана с его четырехмерностью, мешающей нам представить себе пространство-время наглядно. Но после того, как мы пережили нашу встречу с фазовым пространством, представить себе всего лишь четыре измерения не составит для нас особых трудностей! Как и в случае с фазовым пространством, мы пойдем на «обман» и нарисуем картину пространства меньшего числа измерений, но теперь степень обмана будет несравненно меньше, а картина, соответственно — гораздо точнее и ближе к истинной. Для многих целей достаточно рассмотреть двумерное пространство-время (одно измерение — для пространства и одно измерение — для времени). Я надеюсь, что читатель простит мне некоторую напористость и разрешит подняться до трехмерного пространства-времени (два измерения — для пространства, и одно измерение — для времени). Это позволит нарисовать вполне убедительную картину, посмотрев на которую нетрудно будет понять, что, в принципе, аналогичные идеи могут быть легко распространены без особых изменений и на четырехмерный случай. Рассматривая графическое изображение пространства-времени, необходимо иметь в виду, что каждая точка на картинке представляет некоторое событие , т. е. определенную точку в пространстве в какой-то конкретный момент времени. Иначе говоря, точка пространства-времени обладает только мгновенным существованием. Полная картина пространства-времени изображает всю историю: прошлое, настоящее и будущее. Любая частица, коль скоро она существует на протяжении некоторого времени, представляется в пространстве-времени не точкой, а линией, которая называется мировой линией данной частицы. Мировая линия — прямая в случае равномерного движения частицы, и искривленная, если частица движется с ускорением (т. е. неравномерно) — описывает всю историю существования частицы.