Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики
Шрифт:
Как выглядит импульсное состояние, представленное — функцией? Оно похоже на кривую, напоминающую по форме штопор, официальное математическое название которой — винтовая линия(рис. 6.11) [144] .
Рис. 6.11.Импульсное состояние имеет – кривую в форме штопора
Штопоры с частыми витками соответствуют большим импульсам, а штопоры, которые едва вращаются, — очень малым импульсам. Существует предельный случай, когда – кривая вообще не делает витков и вырождается в прямую в случае нулевого импульса. В поведении винтовой линии неявно скрыто знаменитое соотношение Планка . Так как энергия Е всегда пропорциональна частоте v ( Е = hv ),
144
На стандартном аналитическом языке любая из наших штопорообразных винтовых линий (т. е. любое импульсное состояние) задается формулой
= e ipx/h = cos(ipx/h) + i sin(ipx/h),
где р — рассматривемое значение импульса z . (см. главу 3)
Иногда квантовые состояния полезно описывать не в терминах обычных волновых функций, как это было сделано выше, а в терминах волновых функций импульсов. Это сводится к рассмотрению разложения волновой функции по различным импульсным состояниям и построению новой функции ' , зависящей на этот раз не от положения х , а от импульса р ; значение ' ( p ) при любом р задает величину вклада состояния с импульсом р в – функцию. (Пространство величин р называется импульсным пространством.) Смысл ' состоит в том, что при каждом конкретном выборе р комплексное число ' ( р ) задает амплитуду того, что частица имеет импульс р .
Существует математическое название для соотношения между функциями и ' . Каждая из этих функций называется преобразованием Фурье другой — в честь французского инженера и математика Жозефа Фурье (1768–1830). Я ограничусь здесь лишь несколькими замечаниями по поводу преобразования Фурье. Первое замечание: между и ' существует замечательная симметрия. Чтобы перейти от назад к ' , мы по существу прибегаем к той же процедуре, которую использовали при переходе от к ' . Теперь ' становится объектом гармонического анализа. «Чистые тона» (т. е. штопоры в пространстве импульсов) на этот раз называются конфигурационными состояниями. Каждое положение х определяет такой «чистый тон» в пространстве импульсов, а величина такого вклада «чистого тона» в дает значение ( x ).
Конфигурационное состояние соответствует (в терминах обычного пространства) некоторой функции , имеющей острый пик в рассматриваемой точке х , а это значит, что все амплитуды равны нулю, за исключением амплитуды в данной точке. Такая функция называется дельта-функцией (Дирака), хотя, строго говоря, это — не совсем «функция» в обычном смысле, так как ее значение в точке х бесконечно велико. Аналогичным образом импульсные состояния (винтовые линии в конфигурационном пространстве) порождают дельта-функции в пространстве импульсов (рис. 6.12). Таким образом, оказывается, что преобразование Фурье винтовой линии есть дельта-функция и наоборот!
Рис. 6.12.Дельта-функция в конфигурационном пространстве переходит в штопор в импульсном пространстве и наоборот
Описание в терминах конфигурационного пространства полезно всякий раз, когда требуется произвести измерение возможного положения частицы в пространстве, которое сводится к увеличению до классического уровня эффектов различных возможных положений частицы. (Грубо говоря, фотоэлементы и фотографические пластинки осуществляют измерение положения фотонов в пространстве.) Описание на языке импульсного пространства полезно, когда требуется измерить импульс частицы, т. е. увеличить до классического уровня эффекты различных возможных импульсов. (Эффекты отдачи или дифракции на кристаллах могут быть использованы для измерений импульса.) В каждом случае квадрат модуля соответствующей волновой функции ( или ' ) дает искомую вероятность
В заключение этого раздела обратимся еще раз к эксперименту с двумя щелями. Мы узнали, что согласно квантовой механике даже одна частица сама по себе должна обладать волновым поведением. Такая волна описывается волновой функцией . Более всего похожи на волны волновые функции импульсных состояний. В эксперименте с двумя щелями мы рассматривали фотоны с определенной частотой; так что волновая функция фотона состояла из импульсных состояний различных направлений, в которых расстояние между соседними витками штопора — длина волны — было одно и то же на протяжении всей винтовой линии. (Длина волны определяется частотой.)
Волновая функция каждого фотона распространяется первоначально из источника в точке S и (если мы не следим за прохождением фотона через щели) проходит к экрану через обе щели. Однако только небольшая часть волновой функции проходит через щели, поэтому мы можем мысленно рассматривать щели как новые источники, каждый из которых по отдельности испускает волновую функцию. Эти две части волновой функции интерферируют одна с другой так, что когда они доходят до экрана, в одних его точках они суммируются, а в других погашают друг друга. Чтобы выяснить, где волны суммируются и где гасят друг друга, выберем на экране некоторую точку р и рассмотрим прямые, проведенные к точке р от каждой из щелей t u b . Вдоль отрезка tp мы имеем одну винтовую линию, а вдоль отрезка bр — другую винтовую линию. (Мы также имеем винтовые линии вдоль линий st и sb , но если предположить, что источник находится на одном и том же расстоянии от обеих щелей, то на пути к щелям винтовые линии успеют совершить одинаковое число витков.) Число витков, которые винтовые линии совершат к тому моменту, когда они достигнут экран в точке р , зависит от длины отрезков tp и bр . Если эти длины отличаются на целое число длин волн, то в точке р винтовые линии окажутся совмещенными в одном направлении относительно своих осей (т. е. = 0°, где определено в предыдущем разделе), так что соответствующие амплитуды сложатся и дадут яркоепятно. Если же эти линии отличаются по длине на целое число длин волн плюс половина длины волны, то в точке р винтовые линии окажутся совмещенными в противоположныхнаправлениях относительно своих осей ( = 180°), поэтому соответствующие амплитуды погасят друг друга, и мы получим темноепятно. Во всех остальных случаях между смещениями винтовых линий в точке р образуется некоторый угол, поэтому соответствующие амплитуды будут суммироваться некоторым промежуточным образом, и мы получим пятно с промежуточной интенсивностью освещенности (рис. 6.13).
Рис. 6.13.Анализ эксперимента с двумя щелями в терминах штопорообразного представления импульсных состояний фотона
Принцип неопределенности
Большинству читателей приходилось слышать о принципе неопределенности Гейзенберга . Согласно этому принципу невозможно одновременно точно измерить (т. е. увеличить до классического уровня) положение и импульс частицы. Хуже того, существует абсолютный пределпроизведения погрешностей, с которыми могут быть измерены положение и импульс частицы, например, x и р , определяемый неравенством
x р >= h .
Эта формула говорит нам, что чем точнее измерено положение х , тем менее точно может быть определен импульс р , и наоборот. Если бы положение было измерено с бесконечнойточностью, то импульс стал бы совершеннонеопределенным; с другой стороны, если импульс измерен точно, то положение частицы становится полностью неопределенным. Чтобы получить некоторое представление о величине предела, установленного неравенством Гейзенберга, предположим, что положение электрона измерено с погрешностью до нанометра (10 – 9м), тогда его импульс стал бы настолько неопределенным, что уже через секунду после измерения бесполезно было бы искать электрон на расстоянии меньше 100 км от того места, где он находился в момент измерения!
Из описаний некоторых измерительных процессов создается впечатление, что это связано с некоторой неточностью, «встроенной» в сам процесс измерения. Согласно этой точке зрения, попытка локализовать электрон в вышерассмотренном эксперименте неизбежно сообщит ему случайный «толчок» такой интенсивности, что электрон, весьма возможно, улетит прочь с огромной скоростью, величина которой оговорена принципом неопределенности Гейзенберга. Из других же описаний мы узнаем, что неопределенность — свойство самой частицы, а ее движению присуща неизбежная случайность, которая означает, что поведение частицы непредсказуемо непосредственно на квантовом уровне. Есть и такие точки зрения, согласно которым квантовая частица есть нечто непостижимое, к чему неприменимы сами понятия классического положения и классического импульса. Ни один из этих подходов мне не нравится. Первый может ввести в заблуждение, второй заведомо неправилен, а третий излишне пессимистичен.