Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Пенроуз Роджер

О чем в действительности говорит нам описание в терминах волновых функций? Прежде всего напомним наше определение импульсного состояния. Это тот случай, когда импульс известен точно. Кривая имеет вид винтовой линии, всюду остающейся на одном и том же расстоянии от своей оси. И поэтому в любой точке амплитуды различных положений имеют равные квадраты модулей. Таким образом, если производится измерение положения, то вероятность найти частицу в какой-нибудь одной точке такая же, как вероятность найти ее в любой другой точке. Действительно, положение частицы оказывается полностью неопределенным! А как обстоит дело с конфигурационным состоянием? В этом случае – кривая представляет собой дельта-функцию Дирака. Частица точно локализована в том месте, где находится пик дельта-функции, во всех остальных точках амплитуды равны нулю. Импульсные амплитуды лучше всего определять, перейдя в импульсное пространство. В этом случае их ' –

кривые имеют вид винтовых линий, так что амплитуды различных импульсов все имеют равные квадраты модулей. Результат измерения импульса частицы становится теперь совершенно неопределенным!

Интересно рассмотреть промежуточный случай, когда координаты и импульсы отчасти ограничены, но только лишь в той степени, которая разрешена соотношением неопределенности Гейзенберга. Кривая и соответствующая ей кривая ' (являющиеся Фурье-преобразованиями друг друга) для такого случая изображены на рис. 6.14.

Рис. 6.14.Волновые пакеты, локализованные как в конфигурационном пространстве, так и в импульсном пространстве

Обратите внимание на то, что расстояние от каждой из кривых до оси существенно отлично от нуля лишь в весьма малой области. Вдали от этой области кривые очень плотно прижимаются к оси. Это означает, что квадраты модуля заметно отличны от нуля только в очень ограниченной области как в конфигурационном пространстве, так и в импульсном пространстве. В этом случае частица может быть локализована в пространстве, хотя соответствующий пик имеет некоторую ширину; аналогичным образом, импульс также достаточно хорошо определен, поэтому частица движется с достаточно хорошо определенной скоростью, а расплывание пика, характеризующего ее положение в пространстве, происходит не слишком быстро. Такое квантовое состояние принято называть волновым пакетом; обычно волновой пакет считается лучшим квантовотеоретическим приближением к классической частице. Однако из-за «размазанности» в значении импульса (т. е. скорости) следует, что волновой пакет со временем расплывается. И чем более он локализован в начальный момент времени в пространстве, тем быстрее он расплывается.

Эволюционные процедуры U и R

В приведенном выше описании временной эволюции волнового пакета неявно содержится уравнение Шредингера , которое говорит нам о том, как именно эволюционирует во времени волновой пакет. Действительно, уравнение Шредингера гласит, что каждая компонента разложения по импульсным состояниям («чистым тонам») двигается со скоростью, равной величине с ² , деленной на скорость классической частицы, имеющей импульс данной компоненты. На самом деле, уравнение Шредингера математически сформулировано гораздо более лаконично. Мы обратимся к его точной записи несколько позднее. Оно по форме несколько напоминает уравнения Гамильтона или Максвелла (будучи тесно связано с обоими) и так же, как и эти уравнения, дает полностью детерминистскуюэволюцию волновой функции, если волновая функция задана в какой-либо один момент времени (см. гл.6 «Уравнение Шредингера; уравнение Дирака»)!

Полагая, что описывает мир в его «реальности», мы не обнаружим никакого индетерминизма, который, как предполагают некоторые, внутренне присущ квантовой теории, — не обнаружим, пока волновая функция удовлетворяет детерминистской эволюции Шредингера. Будем называть это эволюционной U– процедурой. Однако всякий раз, когда мы «производим измерения», увеличивая квантовые эффекты до классического уровня, мы изменяем правила. Теперь вместо Uмы используем совершенно другую процедуру, которую я обозначу R. Она состоит в образовании квадратов модулей квантовых амплитуд для получения классических вероятностей! [145] Именно эта и только эта R– процедура привносит неопределенности и вероятности в квантовую теорию.

145

Эти две эволюционные процедуры были описаны в классическом труде выдающегося американского математика венгерского происхождения Джона (Яноша) фон Неймана [1955]. Его «процесс 1» — то, что я назвал R– процедурой — «редукцией вектора состояния», а его «процесс 2» — то, что я назвал U– процедурой — «унитарной эволюцией» (унитарность означает, что амплитуды вероятности в ходе эволюции сохраняются). На самом деле существуют и другие (хотя и эквивалентные) описания эволюции Uквантового состояния, в которых не используется термин «уравнение

Шредингера». Например, в « картине Гейзенберга» состояние описывается таким образом, что кажется, будто оно вообще не эволюционирует; динамическая эволюция понимается как непрерывный сдвиг смысла координат положения/импульса. Разные отличия этих картин для нас сейчас несущественны, так как описания процесса Uполностью эквивалентны.

Детерминистская U– процедура, по-видимому, является неотъемлемой частью той квантовой теории, на которой в основном сосредоточены помыслы активно работающих физиков; что же касается философов, то их больше интересует недетерминистская редукция R вектора состояния(или, как ее иногда называют более выразительно, коллапс волновой функции). Рассматриваем ли мы Rпросто как изменение «знания», которым мы располагаем о системе, или (как это делаю я) воспринимаем Rкак нечто «реальное», у нас имеется два совершенно различныхматематических подхода к описанию изменения во времени вектора состояния физической системы. В то время как U– процесс вполне детерминистский, Rимеет вероятностный характер. Uудовлетворяет комплексной квантовой суперпозиции состояний, a Rгрубо нарушает ее; Uдействует непрерывным образом, a Rвопиющим образом разрывен. Исходя из стандартных процедур квантовой механики невозможно сделать заключение, что R– npoцесс может быть «выведен», как сложный случай U– процесса. R— это просто другая, отличная от Uпроцедура, дающая вторую «половину» интерпретации квантового формализма. Весь индетерминизм квантовой теории происходит из R, а не из U. Но для изумительного согласия квантовой теории с наблюдательными фактами необходимы оба процесса: и U, и R.

Обратимся снова к волновой функции . Предположим, что описывает импульсное состояние. До тех пор, пока частица не взаимодействует с чем-нибудь, благополучно остается импульсным состоянием до скончания времен. (Именно это говорит нам уравнение Шредингера.) В любой момент времени, который мы выберем для «измерения импульса», мы получим один и тот же определенный ответ. Вероятностям здесь просто нет места. Предсказуемость остается здесь такой же четкой, как и в классической теории. Предположим, однако, что на некоторой стадии мы возьмемся измерить (т. е. увеличить до классического уровня) положение частицы. В этом случае мы получим целый массив амплитуд вероятности, модули которых нам предстоит возводить в квадрат. Имея такое изобилие вероятностей, мы столкнемся с полной неопределенностью в отношении того, каким будет результат измерения. Эта неопределенность согласуется с принципом неопределенности Гейзенберга.

С другой стороны, предположим, что мы начинаем с , описывающей некоторое состояние частицы в конфигурационное пространстве. В этом случае согласно уравнению Шредингера не останетсяв том же состоянии, а будет быстро расплываться. Тем не менее уравнение Шредингера полностью определяет, как происходит такое расплывание функции . В ее поведении нет ничего недетерминистского или вероятностного. В принципе можно было бы предложить эксперименты, которые мы могли бы выполнить, чтобы проверить этот факт. (Подробнее об этом см. ниже.) Но если мы вдруг захотим измерить импульс, то получим амплитуды для всех различных возможных значений импульса, имеющие равные квадраты модулей, а результат эксперимента будет полностью неопределен — опять в полном соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга.

Аналогичным образом, если исходить из как волнового пакета, то его будущая эволюция полностью определяется уравнением Шредингера, и в принципе можно было бы предложить эксперименты, позволяющие проверить этот факт. Но как только мы вознамеримся произвести измерение над частицей каким-либо другимспособом, например, измерить положение или импульс частицы, то мы сразу обнаружим, что неопределенности появляются снова (в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга) с вероятностями, задаваемыми квадратами модулей амплитуд.

Все это, несомненно, очень странно и таинственно. Но не означает, что мир непознаваем. В нарисованной мной картине мира многое подчиняется очень ясным и точным законам. Однако пока не существует ясного указания относительно того, когда следует прибегать к вероятностному правилу Rвместо детерминистского правила U. Какой смысл следует вкладывать в выражение «выполнить измерение»? Почему (и когда) квадраты модулей амплитуд «становятся вероятностями»? Можно ли квантово-механически понять «классический уровень»? Это — глубокие и трудные вопросы, рассмотрением которых мы и займемся в следующей главе.