Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
Сначала рассмотрим функцию 1/ln t. Ее график показан на рисунке 7.4 . Обозначение для аргумента заменено с xна tпо той причине, что букве xотведена другая роль, чем просто быть бессловесной переменной.
На рисунке затемнена некоторая область под графиком, поскольку мы сейчас устроим небольшое интегрирование. Как только что объяснялось, интегрирование — это способ вычислить площадь под графиком функции. Сначала надо найти интеграл от интересующей нас функции, а потом взять калькулятор. Итак, каков же интеграл от функции 1/ln t?
К сожалению, в домашнем хозяйстве нет обычной функции, которая позволила бы выразить интеграл от 1/ln t. Но интеграл этот весьма важен. Он снова и снова появляется в исследованиях, связанных с Гипотезой Римана. Поскольку нежелательно писать
Рисунок 7.4.Функция 1/ln t.
У этой новой функции есть имя: ее зовут интегральный логарифм. Для нее обычно используется обозначение Li( x). (Иногда пишут li( х).) Она определена как функция, выражающая площадь под кривой — то есть под графиком функции 1/ln t— от нуля до x. [59]
59
Есть два способа определения Li (x) — к сожалению, оба достаточно распространенные. В данной книге я использую «американское» определение, которое приводят Абрамовиц и Стеган в своем классическом «Справочнике по специальным функциям», опубликованном в 1964 г. Национальным бюро стандартов. В этом определении интеграл берется от 0 до x; в этом же смысле использовал Li( x) и Риман. Но многие математики — среди них великий Ландау (см. главу 14.iv) — предпочитают «европейское» определение, в котором интеграл берется от 2 до x, чтобы избежать неприятностей при x= 1. Два приведенных определения различаются на 1,04516378011749278…. В компьютерной программе Mathematica реализовано американское определение.
Здесь не обошлось без некоторой ловкости рук, потому что у функции 1/ln tнет значения при t = 1 (из-за того что логарифм единицы равен нулю). Я обойду эту сложность, не углубляясь в нее, — просто заверю вас, что имеется некоторый способ привести все в порядок. Надо еще заметить, что при вычислении интегралов области ниже горизонтальной оси считаются отрицательными, так что по мере увеличения tобласть справа от 1 «тратится» на сокращение области слева от 1. Другими словами, Li( x) выражается затемненной областью на рисунке 7.4 , причем отрицательный вклад в площадь, набираемый слева от t = 1, гасится положительным вкладом от площади справа от t = 1 (когда xлежит справа).
На рисунке 7.5 показан график функции Li( x). Мы видим, что она принимает отрицательные значения, когда xменьше единицы (поскольку соответствующая площадь на рисунке 7.4 дает отрицательный вклад), но по мере того, как xуходит направо от 1, положительный вклад в площадь постепенно сокращает отрицательный, так что Li( x) возвращается из отрицательной бесконечности, достигает нуля (т.е. отрицательный вклад в площадь полностью сокращается) при аргументе x= 1,4513692348828…, а после этого уже постоянно возрастает. Наклон этой функции в каждой точке равен, конечно, 1/ln x. А это, как мы видели в главе 3.ix, есть вероятность того, что целое число в окрестности числа xокажется простым. [60]
60
Неплохое приближение к Li (N)можно получить, складывая 1/ln 2, 1/ln 3, 1/ln 4, …, 1/ln N.Если, например, взять такую сумму для N, равного миллиону, то результат будет равен 78 627,2697299…, тогда как значение интегрального логарифма есть 78 627,5491594…. Так что сумма дает приближение, которое недобирает лишь 0,0004 процента. Этот интеграл вполне оправдывает свое обозначение в виде вытянутой буквы S, указывающей на «сумму».
Рисунок 7.5.Функция Li (x).
Именно поэтому данная функция так важна в теории чисел. Дело в том, что по мере того, как Nделается все больше и больше, мы имеем Li (N)~ N/ln N.Но
Это не просто верно. Это, в некотором роде, еще вернее.Я хочу сказать, Li (N)дает на самом деле лучшую оценку функции (N), чем N/ln N.Намного лучшую. Таблица 7.3 показывает, почему Li (x)играет центральную роль в нашем исследовании.
Таблица 7.3.
На самом деле ТРПЧ чаще всего формулируют как (N) ~Li( N), а не как (N) ~ N/ln N.Поскольку знак волны транзитивен, два утверждения эквивалентны, как можно видеть из рисунка 7.6. Из работы Римана 1859 года следует и точное, хотя и не доказанное, выражение для (N), и во главе этого выражения стоит Li (x).
(N) ~Li (N)
Отметим еще одно обстоятельство, связанное с таблицей 7.3 . Для всех приведенных там значений Nфункция N/ln Nдает заниженную оценку для (N), а функция Li (N) — завышенную. Оставим это замечание без комментариев до тех пор, пока оно нам не понадобится.
Рисунок 7.6.ТРПЧ.
Глава 8. Не лишено некоторого интереса
До сих мы интересовались далекими предпосылками Гипотезы Римана — предысторией Теоремы о распределении простых чисел (ТРПЧ) и работы Римана 1859 года, где Гипотеза и была впервые высказана. В данной главе мы обратимся к непосредственным истокам той работы. Вообще-то здесь переплетены две истории: Бернхарда Римана и Геттингенского университета в 1850-х годах: в придачу к этому мы предпримем короткие путешествия за национальным колоритом в Россию и Нью-Джерси.
Следует держать в поле зрения целостную картину европейской интеллектуальной жизни 1830, 1840 и 1850-х годов. Разумеется, то было время огромных перемен. Колоссальные изменения, произведенные Наполеоновскими войнами, выпустили на свободу новые патриотические и реформаторские силы. Полным ходом шла промышленная революция. Подвижки в мыслях и чувствах, которые мы условно объединяем под названием «движение романтизма», проникали повсюду и уже достигли широких слоев населения. 1830-е годы, годы возрождения духа после истощения долгими войнами, были неспокойным временем, отмеченным Июльской революцией во Франции, Польским восстанием (в то время Польша принадлежала Российской империи [61] ), мечтами немцев о национальном единстве и великим Биллем о реформе в Британии. [62] Алексис де Токвиль, посетив Соединенные Штаты, написал книгу, в которой глубоко проанализировал новые любопытные эксперименты с демократической формой правления. [63] В течение следующего десятилетия зашевелились темные силы, причем кульминация пришлась на 1848 год, «год революций», перипетии которого, как мы видели в главе 2, на какое-то время нарушили даже сокровенное уединение Бернхарда Римана.
61
Большая ее часть. Пруссия и Австрия также удерживали исторически польские земли.
62
Речь идет о первом из законодательных актов, сформировавших современную избирательную систему Великобритании. (Примеч. перев.)
63
Алексис де Токвиль(Alexis Charles Henri Cl'erel de Tocqueville, 1805-1859) — французский историк, социолог и политический деятель, лидер консервативной Партии порядка, министр иностранных дел Франции (1849). Книга, о которой идет речь, произвела сильное впечатление на Пушкина, который писал о ней: «Уважение к сему новому народу и к его уложению, плоду новейшего просвещения, сильно поколебалось. С изумлением увидели демократию в ее отвратительном цинизме, в ее жестоких предрассудках, в ее нестерпимом тиранстве». (Примеч. перев.)