Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной
Шрифт:
Посмотрим на другие члены ряда. Мы приняли x = 0 за точку равновесия, в которой система может находиться без движения. Что будет, если немного сдвинуть ее с этой точки? Значение x будет очень мало (много меньше единицы). Но если умножить такое число на само себя, результат получится еще меньше. Поэтому значения слагаемых в формуле (3.9) будут тем меньше, чем больше степень x. При достаточно малых x влияние будет иметь только самое первое из них, bx. Это, конечно, аппроксимация, но она работает при х, стремящемся к нулю. Какие коэффициенты ни выбрать, всегда найдутся значения x,
Но подождите. Если x = 0 — это точка равновесия, потенциал V(0) в ней должен быть минимальным: ведь это подножие холма, где уклон нулевой, а сила не действует. Но при малых значениях x можно сказать, что V(x) ? bx, то есть уклон графика V при x = 0 — это просто b. Он будет нулевым только при условии, что b = 0. Поэтому с учетом сделанных предположений мы можем принять b = 0 так же, как ранее приняли a = 0. В противном случае при x = 0 потенциал не окажется минимальным. Таким образом, формула принимает такой вид:
V(x) = cx2 + dx3 + ex4 + … (3.10)
Теперь, исходя из тех же соображений, мы можем сказать, что при достаточно малых значениях x все степени высокого порядка будут пренебрежимо малы. Другими словами, в довольно грубом приближении мы видим, что потенциал колебательной системы вблизи точки равновесия выражается формулой
V(x) ? cx2. (3.11)
А это просто парабола, то есть мы получаем простой гармонический осциллятор. Это удивительный результат: в отсутствие трения, при малых отклонениях от точки равновесия почти любую колебательную систему можно аппроксимировать простым гармоническим осциллятором [7] . Шар у подножия холма, груз на пружине, маятник или атом, смещающийся внутри молекулы, амплитуда звуковой волны или электрического тока, даже значение поля бозона Хиггса — если систему можно описать в терминах кинетической и потенциальной энергии, рядом с точкой, где она минимальна, потенциал можно аппроксимировать параболой, а значит, физически эта система будет вести себя как гармонический осциллятор. Такое соответствие не будет точным, поскольку вдали от точки равновесия члены (3.10) с большими степенями будут иметь значение. Однако такие усложнения можно добавить к модели позже.
7
Вы понимаете, почему «почти любую»? Допустим, что нам, к несчастью, досталась система, в которой c = d = 0 (ее потенциал в точности равен V(x) = ex4). Такую систему нельзя аппроксимировать гармоническим осциллятором даже при малых значениях x.
Итак, мы видим, как сферические коровы становятся реалистичными и философия обретает практический смысл. Мы не просто рассматриваем донельзя упрощенные системы и надеемся на лучшее.
Идея взять сложное выражение и записать его в виде бесконечного ряда слагаемых, как в уравнении (3.9), применима к широкому кругу задач. И нам очень часто везет: последующие члены ряда меньше, чем несколько первых. Поэтому появился систематический метод, известный как теория возмущений: мы записываем
Фазовое пространство
Согласно парадигме Лапласа, траектория системы определяется скоростью и положением всех ее частей в какой-то момент времени. Мы уже знаем, что импульс объекта равен произведению его массы на скорость,
Множество всех возможных импульсов и положений системы называется ее фазовым пространством:
(Фигурные скобки {} обычно обозначают множество.) Чтобы проследить движение системы в соответствии с механикой Ньютона, достаточно указать, в какой точке фазового пространства она находилась в тот или иной момент времени. Другими словами, фазовое пространство — это множество всех возможных состояний, в которых может находиться система.
Рассмотрим один довод в пользу того, что импульс более важен, чем скорость. Ускорение представляет собой производную скорости по времени. Второй закон Ньютона
(3.12)
Поэтому можно переписать второй закон Ньютона, выразив силу через импульс:
(3.13)
В таком виде уравнение становится не только более компактным, но и более общим, поскольку остается в силе даже для объектов с переменной массой (например, для ракеты, которая постепенно становится легче, сжигая топливо). Сила показывает изменение импульса с течением времени.
В мире, который мы знаем, объекты находятся в трехмерном пространстве. Но математики, а следом за ними и физики, понимают слово «пространство» в более общем смысле: как некое множество с какой-то дополнительной структурой. Поэтому «множество всех возможных положений отдельного объекта» — это не что иное, как старое доброе трехмерное пространство. В отличие от него фазовое пространство является шестимерным: три измерения определяют положение, три других — импульс (который представляет собой трехмерный вектор).
Если система состоит из N частиц, расположенных в трехмерном пространстве, можно говорить о ее конфигурационном пространстве, которое имеет размерность 3N и показывает трехмерное положение каждой из частиц. Поскольку каждая частица обладает также трехмерным импульсом, существует и соответствующее 6N– мерное фазовое пространство. Система «Земля и Луна» — это два объекта, которые движутся в трехмерном пространстве. Поэтому фазовое пространство этой системы будет иметь размерность 12. И это если не принимать в расчет, что планеты — совсем не частицы, и надо бы учесть их ориентацию и моменты инерции.