Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

Кэрролл Шон

Например, существует вариационное исчисление — вариант дифференциального исчисления, приспособленный для бесконечномерных пространств. Это довольно забавная штука, но мы не будем туда погружаться. Жизнь коротка, а нас впереди ждет еще столько всего интересного. Я говорю о нем лишь затем, чтобы подчеркнуть его важность для «нахождения кривой минимальной длины».

Возьмем обычную функцию одной переменной, f(x). Производная df/dx показывает наклон графика этой функции в каждой из точек. Но просто взглянув на график, мы можем заметить важное свойство: везде, где функция имеет локальный максимум (вершина холма) или минимум (дно долины), производная равна нулю.

Именно

это свойство и есть главный секрет того, как математики ищут минимальные длины или другие параметры. Вернемся ко множеству всех возможных кривых. На нем можно определить функцию, которая будет отображать каждую из кривых на определенное число — ее длину. Найдем производную этой функции, учтя все возможные способы бесконечно малой деформации кривой. И там, где функция имеет минимальное значение, производная будет равна нулю. Это позволит нам перейти от словосочетания «кратчайший путь» к набору математических формул, показывающих, где «производная функции длины в пространстве путей становится равной нулю».

Наименьшее действие

Но в данный момент нам интересна не длина кривой. Если подбросить камень, он полетит по какой-то определенной траектории, которая, очевидно, не будет прямолинейной, то есть кратчайшим путем. Так происходит потому, что на этом пути к минимуму сводится не расстояние, а действие. Давайте посмотрим, что это значит.

В каждой точке траектории движущаяся частица имеет положение x и скорость v, то есть соответственно кинетическую энергию

и потенциальную энергию V(x). Разность между ними называется лагранжианом L(x, v) (по имени французского математика Жозефа-Луи Лагранжа):

Лагранжиан = Кинетическая энергия — Потенциальная энергия,

(3.14)

Действие S для любой траектории [x(t), v(t)] равно интегралу лагранжиана по времени:

(3.15)

В каждой точке траектории, то есть в каждый момент времени, лагранжиан имеет некоторое числовое значение. Но действие не зависит от того, в какой точке пути мы находимся: оно зависит от траектории в целом. Между начальной и конечной точкой частица будет двигаться по пути, который требует минимального действия среди всех траекторий, которые можно проложить между этими точками. Такую формулировку классической механики часто называют механикой Лагранжа, поскольку лагранжиан является в ней центральной величиной. Действие — это интеграл лагранжиана по времени, а реальные физические перемещения всегда таковы, что действие сводится к минимуму.

Рассмотрим принцип наименьшего действия на примере шара (частицы) на холме. В момент времени t1 шар находится в точке x1, в момент t2 — в точке x2.

Как будет действовать человек, который застрял в парадигме Лапласа? Найдет ускорение с помощью F = ma, а затем будет его интегрировать. Но это неверно. Нам неизвестна скорость шара в точке x1, и мы не можем принять ее равной нулю, так как иначе он может не достичь точки x2

в указанное время. Мы также не можем считать, что точка x2 является точкой поворота: известно лишь, что шар находится там в момент t2. Тем не менее мы знаем достаточно, чтобы понять, как движется шар между этими точками. Быть может, из точки x1 он покатится по холму вверх, а затем развернется и устремится к точке x2. В любом случае действие на его траектории будет наименьшим, а в конечный момент времени он достигнет конечной точки, имея нужную для этого скорость.

Что значит наименьшее действие? Действие — это интеграл от лагранжиана, разности между кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия не может быть отрицательной, а значит, она должна быть как можно меньше. Однако она не может быть нулевой, поскольку неподвижный шар никогда не достигнет конечной точки. Шар должен двигаться достаточно быстро, чтобы пройти нужное расстояние за нужное время, но не более того.

Кажется, что свести к минимуму «отрицательный потенциал» несложно. Найти точку с очень большим значением V(x), и тогда — V(x) будет иметь очень малое значение (в этой задаче мы будем считать отрицательные числа малыми). Но здесь возникает противоречие с предыдущим абзацем. Если из точки x1 шар сначала движется в точку с большим потенциалом, чтобы вовремя успеть к точке x2, придется развить большую скорость, а это требует большой кинетической энергии. Мы же стремимся свести ее к минимуму.

Нужно найти такой компромисс между большой потенциальной и малой кинетической энергией, чтобы в указанные моменты времени шар находился в указанных точках. В результате этой работы будет построена траектория, которая полностью соответствует классическим уравнениям движения. Математически принцип наименьшего действия эквивалентен принципам, установленным Ньютоном.

Удивительно: второй закон Ньютона — главный принцип, основа классической механики, — утверждает, что сила, воздействующая на объект, равна его массе, умноженной на ускорение. В формулировке принципа наименьшего действия слово «сила» вообще отсутствует. Но несмотря на различия, оба принципа приводят к одним и тем же результатам.

Какой же из принципов более правилен? Природа движется из начального положения, проходя точку за точкой, момент за моментом, как говорил нам Лаплас? Или из множества возможных путей, соединяющих две точки, природа делает выбор в пользу того, где действие минимально?

Ни то ни другое. Природа — это природа, и делает то, что делает. Мы, люди, изо всех сил стремимся ее понять и осмыслить в придуманных нами терминах. Одно и то же явление может быть описано по-разному, и по большому счету нам нет нужды выбирать, решать, какой из способов «более верный». Мы просто должны быть готовы мыслить в терминах, которые дают наилучшее понимание.

Четыре. Пространство

До сих пор мы говорили о событиях, то есть о чем-то, что происходит. Шары катятся с холмов, грузы колеблются на пружинах, планеты вращаются вокруг Солнца. Вся эта жизнь имеет место не в пустоте, а в пространстве, совокупности всех возможных мест, где что-то может находиться. Пространство упоминалось уже не раз, с первых абзацев главы 1, но мы пока не задумывались о нем, ведь очевидно, что каждый человек в какой-то степени знаком с этим понятием. Теперь настало время копнуть поглубже. Какими свойствами обладает пространство и почему? Зачем вообще необходимо нечто, называемое пространством?

Точно ответить на все эти вопросы нельзя. Но можно подумать о свойствах пространства, об их взаимосвязи с другими особенностями нашего мира. Что такое пространство: вещество или свойство каких-то объектов? Что значит трехмерность? Какие физические характеристики позволяют нам мыслить в терминах пространства? Эти вопросы приведут нас к изучению еще одной формулировки классической механики: после механик Ньютона и Лагранжа мы познакомимся с точкой зрения Гамильтона. В отличие от других предшественников, Гамильтон вообще не считает пространство чем-то особенным, а значит, такой подход будет очень полезен при разговоре о нем.