Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

Кэрролл Шон

Теперь мы поговорим о том, как видел классическую механику Гамильтон. Он предложил считать, что импульс существует сам по себе, не зависит от скорости. Такой подход может показаться странным и мало чем отличным от строгих формул Ньютона. На самом деле отличие есть и довольно большое. Оно помогает понять, почему пространство — настолько важное понятие.

В предыдущей главе мы говорили о фазовом пространстве: множестве всех возможных положений и импульсов, которые может иметь система. Согласно парадигме Лапласа, достаточно указать одну точку в фазовом пространстве, чтобы определить всю траекторию системы (по крайней мере участок, на котором она не подвергалась внешним воздействиям). При этом, хоть мы и сделали импульс частью фазового пространства,

мы знаем: в механике Ньютона импульс и скорость связаны друг с другом формулой

.

Красивая картина. Но есть в ней один изъян, совсем небольшой, так что его очень трудно заметить. Вся суть парадигмы Лапласа состоит в том, что состояние системы в будущем определяется положением и скоростью в какой-то момент времени. Но скорость есть производная положения. Чтобы ее найти, следует заглянуть в будущее, посмотреть на систему мгновение спустя. Даже если такое мгновение — бесконечно малая величина, мы все равно используем не одно, а несколько разнесенных по времени состояний системы. И это немного противоречит философии Лапласа.

Механика Гамильтона

Гамильтон предложил довольно элегантное решение этой проблемы. Мы вновь начинаем с фазового пространства, множества всех положений и импульсов системы. Однако теперь мы говорим о векторе импульса, а не о скорости. Мы не определяем импульс как произведение массы на скорость, а принимаем его за понятие, независимое, по статусу равное положению. Поэтому у частицы (или более сложной системы) в любой момент времени есть два независимых свойства: положение и вектор импульса. Независимость импульса от чего бы то ни было позволяет нам определить состояние системы в текущий момент времени, не глядя на нее мгновение спустя.

Механика Гамильтона работает так. У нас есть фазовое пространство, множество всех импульсов p и координат x. (Для простоты изложения мы не будем обозначать векторы стрелочками, а также нумеровать части системы при помощи индексов. Мы примем это за очевидные вещи.) Мы можем определить функцию H(x, p) — гамильтониан, — которая, вообще говоря, представляет собой энергию системы, выраженную через импульс и положение.

Мы знаем, что потенциальная энергия системы зависит только от ее положения. Примем ее равной V(x). В механике Ньютона кинетическая энергия равна

, но нам нужна зависимость от импульса, а не от скорости. Импульс и скорость связаны формулой p = m?. Выразим скорость через импульс (v = p/m) и подставим в уравнение кинетической энергии. Получим K = p2/(2m). Теперь мы можем записать, что

Гамильтониан = Кинетическая энергия + Потенциальная энергия:

(4.1)

Пока что мы просто выразили энергию через импульс (не скорость) и положение. Но это не все. Самое интересное в том, что мы можем вывести уравнения движения системы, начав только с выражения (4.1). Чуть позже мы выясним, как это делается. Сейчас же сразу перейдем к результатам, чтобы понять, какие выводы можно сделать.

Механика Ньютона сосредоточена вокруг одной переменной —

положения x(t) как функции времени. В зависимости от нее определяются скорость и ускорение (первая и вторая производные соответственно). Поэтому для работы с любой системой достаточно одного уравнения F = ma. В механике Гамильтона переменных две: x(t) и p(t), а значит, потребуются и два уравнения. Они у нас есть: это производные импульса и положения:

(4.2)

(4.3)

Первое уравнение нам знакомо. Это второй закон Ньютона F = ma, который записан несколько непривычно. Вспомните выражение (3.13), где мы заменили ma на dp/dt, а также (3.3), которое говорит, что сила равна отрицательному значению производной потенциала по положению. Знакомо нам и второе уравнение, (4.3): это определение импульса (масса на скорость, p = m?), но совершенно в иной трактовке. Тот, кто поймет, в чем отличие, полюбит механику Гамильтона всем сердцем.

С точки зрения Ньютона, основополагающей переменной является x(t), то есть траектория движения рассматривается как зависимость положения от времени. Отсюда следует все остальное: берем производную и получаем скорость, умножаем на массу и получаем импульс. В механике Гамильтона импульс не выражается через скорость, но является независимой величиной. Поэтому выражение (4.3) представляет собой уравнение движения, которое описывает реальные, физически возможные траектории, а не просто дает определение какой-то производной величины. Несмотря на это, в обеих механиках это выражение выглядит одинаково.

В чем же различие между определением импульса и уравнением движения? Определение всегда верно. В механике Ньютона импульс равен массе, умноженной на скорость, просто потому, что так его определили. Уравнение движения, напротив, дает «правильный» результат, который основан на (пусть даже не всегда корректных) значениях переменных.

Две траектории в фазовом пространстве, которые показывают координату в обычном пространстве x(t) и импульс p(t) в каждый момент времени t. У левой траектории импульс не пропорционален скорости: не бывает импульсов, направленных не по касательной к траектории. Такая траектория не соответствует уравнению движения. А вот правая — соответствует.

В механике Гамильтона импульс существует независимо от скорости. В пространстве всех мыслимых вариантов положения x(t) и импульса p(t) не существует обязательных жестких связей между ними. Поэтому мы можем представить себе любые траектории, в том числе те, на которых импульс никак не связан со скоростью. Но если траектория подчиняется уравнению движения (а такие непременно существуют), импульс на них всегда равен mv.