Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

Кэрролл Шон

Координаты не являются объективными свойствами нашего мира. Это придуманные людьми ярлыки, метки, которые мы прикрепляем к различным точкам пространства. Основное правило — принцип инвариантности координат — состоит в том, что физические величины не должны зависеть от выбранной системы (так же, как, например, физическая длина объекта не зависит от единиц измерения — сантиметров или дюймов). Несмотря на кажущуюся простоту, для серьезного осмысления этого принципа приходится говорить о симметриях, калибровочных теориях и других важнейших понятиях современной фундаментальной физики.

Если пространство трехмерно, в нем можно выделить подпространства с меньшим количеством измерений. По крайней мере, с некоторыми допущениями. Возьмем, например,

длинный провод. Каким бы тонким он ни был, его толщина не равна нулю. Фактически провод — трехмерное тело. Но если смотреть издали, можно пренебречь толщиной и считать его одномерным. Когда по проводу течет ток, электроны легко и быстро перемещаются в осевом направлении, но почти не двигаются в поперечных. Физики с радостью пользуются этим фактом и изучают токи в одномерных проводах. Бывают случаи, когда явления ограничены двумерными объектами: тонкими пленками, поверхностями трехмерных тел. Удобно рассматривать их так, как будто мы и сами живем в двумерном мире. Философия сферической коровы в действии! При упрощении сложной системы из нее исчезают целые измерения.

Измерения и силы

Не будь пространство трехмерным, жизнь наша была бы совсем другой. Возможно, ее просто бы не было. Возьмем, к примеру, одну из наших любимых физических сил: силу тяжести. Согласно закону всемирного тяготения, сила тяготения между двумя объектами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Но почему именно квадрату? Почему не просто расстоянию или его восемнадцатой степени?

Понять это можно при помощи рисунка. Представьте себе, что во все стороны от Солнца в бесконечность расходятся прямые лучи — силовые линии. Они называются так потому, что вдоль этих линий действует исходящая от Солнца сила, которая притягивает к нему объекты. Конечно, на самом деле никаких линий не существует. Они лишь графическое представление того, как действует сила тяготения, которое разъясняет смысл закона обратных квадратов.

Если нарисовать сферу, в центр которой поместить Солнце, все силовые линии пройдут через нее. То же самое будет с любой другой такой сферой. Однако чем больше радиус, тем дальше будут разнесены проходящие через нее линии. Если мы будем рассматривать на каждой из сфер участки одинаковой площади, количество проходящих через них линий с увеличением радиуса будет уменьшаться.

Общая площадь сферы А связана с ее радиусом r следующим образом: A = 4?r2. В данном случае 4? — это просто коэффициент, который нужно запомнить, а вот r2 можно объяснить при помощи анализа размерности. Физические величины всегда выражаются в каких-то единицах измерения: длины, времени, массы или же их сочетаниях. Когда величины складываются либо сравниваются, они должны быть выражены в одних и тех же единицах.

Площадь (как двумерная величина), как правило, выражается в «квадратных» единицах длины. Сфера, площадь которой мы вычисляем, имеет только одно свойство, которое показывает длину: радиус. Поэтому площадь должна быть пропорциональна квадрату радиуса, иначе никак. Аналогичным образом длина окружности, которая, разумеется, выражается в единицах длины, будет пропорциональна радиусу без квадрата (и равна 2?r).

Силовые линии не начинаются и не заканчиваются на пустом месте: они берут начало на объектах с большой массой — источниках гравитации, в нашем случае на Солнце. Рассуждая о сферах с ним в центре, мы видим, что количество линий неизменно, а площадь поверхности сфер возрастает. Поэтому если у Солнца линии располагались плотно друг к другу, по мере удаления от него их плотность

уменьшается (если конкретно, то пропорционально 1/r2). А плотность силовых линий определяет величину силы тяжести: чем выше плотность, тем больше сила.

Мы объяснили закон обратных квадратов. Действующая на объект сила пропорциональна плотности проходящих через него силовых линий, которая снижается по мере отдаления от источника гравитации, поскольку растет квадрат радиуса и, соответственно, площадь поверхности сферы, через которую они проходят. (По той же причине по мере удаления от нас объекты становятся менее яркими. Просто замените «силовые линии» на «лучи света».)

В пространствах с иным количеством измерений закон всемирного тяготения будет другим. Например, в двумерном пространстве источник гравитации находится в центре одномерной окружности, а не двумерной сферы. Поэтому плотность силовых линий и, соответственно, сила тяготения будут уменьшаться пропорционально расстоянию, а не его квадрату. В четырехмерном пространстве нам бы пришлось иметь дело с трехмерными гиперсферами. Их сложно нарисовать, а потому, полагаясь на чистую математику, можно сказать, что там будет действовать закон обратных кубов. В общем случае, то есть в d– мерном пространстве, сила притяжения будет пропорциональна 1/r d–1.

Подобные рассуждения могут навести на мысль о том, что закону обратных квадратов так или иначе подчинены все силы в природе. Но это не так, по крайней мере — не всегда. На уровне элементарных частиц существуют «сильные» и «слабые» ядерные взаимодействия, которые действуют на очень малых расстояниях, а затем быстро снижаются почти до нуля. Причины разные. В случае сильных взаимодействий силовые линии переплетаются друг с другом, а не тянутся в бесконечность, в случае слабых — они как будто постепенно затухают (а на самом деле поглощаются полем Хиггса, которое проходит сквозь все пространство). Что же, никто и не говорил о том, что в природе все и везде одинаково.

Еще один классический пример закона обратных квадратов — закон Кулона. Электрическое поле заряженной частицы создает силовые линии, которые уходят в бесконечность (если только не проходят вблизи других заряженных частиц, что случается часто). Поэтому сила электрического поля подчиняется закону обратных квадратов. По крайней мере в трехмерном пространстве.

Эксперименты с электрическим полем и навели ученых на мысли о силовых линиях. Впервые эту идею высказал Майкл Фарадей в середине XIX века. Фарадей был сыном бедного деревенского кузнеца, но подростком стал подмастерьем местного книготорговца и получил возможность учиться, читая книги. Потом Фарадей работал в Королевском институте в Лондоне, где занимался сначала химией (открыл бензол, изобрел первый вариант горелки Бунзена), а затем увлекся электричеством и магнетизмом и далеко продвинулся в этой области. В последствии Максвелл, который был сильным математиком, привел открытия Фарадея к системе строгих уравнений. Он же объединил электричество и магнетизм в единый раздел физики — электромагнетизм.

Новый взгляд на импульс и скорость

Что делает пространство пространством? То есть какие свойства этого мира позволяют нам описать его как «нечто, распределенное в пространстве»? (И развивающееся во времени, но об этом в следующей главе.)

Чтобы ответить на этот вопрос, займемся любимым делом: посмотрим на классическую механику свежим взглядом. Мы уже смотрели на нее глазами Ньютона и Лагранжа. Первый из них определял развитие системы из начального состояния (положения и скорости) при помощи своих законов, второй использовал принцип наименьшего действия, чтобы найти траекторию между начальным и конечным состояниями.