Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

Кэрролл Шон

Теперь похоже, что мы близки к цели. Вновь обозначив коэффициент пропорциональности как ?, запишем следующее уравнение:

Rµ? = ?Tµ?. (8.16)

Это выражение намного более разумно, чем (8.13). Оно соответствует общей форме (8.14) и приравнивает симметричный двухиндексный тензор, составленный из метрики и ее производных, к тензору энергии-импульса. В пустом пространстве при Tµ? = 0 оно дает Rµ? = 0, что определенно соответствует плоскому пространству-времени Минковского (в котором все элементы тензора Римана, а значит, и тензора Риччи равны нулю).

Это выражение настолько разумно, что в октябре 1915 года Эйнштейн предложил его в качестве возможной основы общей теории

относительности. Оно почти работает. Почти, но все-таки не совсем.

Проблема возникла с одним хорошо известным нам свойством энергии: она сохраняется. В общей теории относительности это довольно трудный вопрос, поскольку энергия может передаваться от материи к кривизне пространства-времени и обратно. Такие трансформации накладывают жесткие ограничения на изменение тензора энергии-импульса во времени. А тензор Риччи таким ограничениям не соответствует. Поэтому, если считать выражение (8.16) верным, следует признать, что энергия не сохраняется. В противном случае едва ли удастся найти такую метрику, при которой оно будет выполняться.

Решение этой проблемы само по себе несложно, но, к сожалению, требует более глубоких познаний в области тензоров и кривизны. Их обсуждение вынесено в приложение Б. Основная хитрость тут в том, что нужно использовать обратную метрику, gµ?, которая связана с метрикой обычной, но имеет верхние индексы вместо нижних. (Если вы знаете о матрицах, то это не что иное, как матрица, обратная метрике.) При помощи обратной метрики можно определить функцию пространства-времени — скаляр кривизны Риччи:

R = gµ?Rµ?. (8.17)

Суммирование по µ и ? в правой части полностью устраняет свободные импульсы. Поэтому при умножении на метрику gµ? можно получить отдельный симметричный двухиндексный тензор, построенный на основе метрики и ее производных. Затем, как это сделал Эйнштейн в ноябре 1915 года, можно попробовать отыскать сочетание Rµ? и Rgµ?, которое обладает нужными свойствами, то есть остается пропорциональным Tµ? без нарушения закона сохранения энергии. Существует единственно верный ответ, который сегодня называется уравнением Эйнштейна:

(8.18)

В левой части находится тензор Эйнштейна. Можно придумать для него новый символ, но выражение и само по себе несложно: это тензор Риччи и скаляр кривизны. Это окончательная форма уравнения поля в общей теории относительности, в котором представил его Эйнштейн на докладе Прусской академии наук 25 ноября 1915 года. [26]

Физик Джон Уилер сформулировал общую теорию относительности так: «Пространство говорит материи, как двигаться, материя же говорит пространству, как искривляться». Первая половина этой фразы означает, что свободные частицы движутся по геодезическим линиям, а несвободные частицы (на которые действует отличная от гравитации сила) отклоняются от них примерно так же, как в механике Ньютона они отклоняются от прямых, двигаясь с ускорением. Вторую половину фразы обеспечивает уравнение Эйнштейна: решив его, можно узнать, какой будет метрика пространства-времени в любой интересующей нас ситуации. В итоге это уравнение правильно предсказало эволюцию Вселенной, существование черных дыр, распространение гравитационных волн и другие явления, о которых Эйнштейн в свое время даже и не догадывался. В этом и заключается сила хорошей научной теории: она знает гораздо больше, чем те, кто ее придумал.

26

Можно сделать еще кое-что: добавить слагаемое, пропорциональное самой метрике ?gµ?, где ? (иногда называемая лямбда-член) — константа. Эйнштейн додумался до этого в 1917 году и назвал ? космологической постоянной. Существование ненулевой космологической постоянной было окончательно

подтверждено в 1998 году, когда астрономы открыли ускорение вселенной. Однако измеренное значение ? настолько мало, что им можно пренебречь. Если, конечно, вы не занимаетесь космологией.

В записанное нами уравнение Эйнштейна входит не просто какой-то странный коэффициент пропорциональности, а 8?G, где G — гравитационная постоянная, как и в законе всемирного тяготения Ньютона. Эту величину нельзя найти путем умозаключений или согласования с законами сохранения: нужны данные экспериментов. Для этого Эйнштейн рассмотрел «предел слабого поля», в котором гравитация почти не проявляется, а пространство-время почти, но все-таки не совсем плоское. В этих условиях хорошо сформулированная теория гравитации должна воспроизводить закон обратных квадратов Ньютона, для чего константа в выражении (8.18) должна быть равна 8?G. Удивительно, что уравнение, константа в котором получена путем наблюдений за падением яблок и движением планет, блестящим образом показывает, что было в первые минуты после Большого взрыва.

Принцип действия

В главах 3 и 4 мы рассмотрели несколько равносильных формулировок классической физики, предложенных Ньютоном, Лагранжем и Гамильтоном. Общая теория относительности — также классическая, а потому не следует удивляться тому, что ее уравнения могут быть выведены разными, но эквивалентными способами. Пойдем по пути Лагранжа и вспомним принцип наименьшего действия, который, как оказалось, очень удобен для осмысления релятивистских теорий, поскольку естественным образом уравнивает в правах пространство и время.

В прошлый раз, рассматривая этот принцип, мы говорили о частице, которая в точке x движется со скоростью v = dx/dt. Мы определили лагранжиан L как функцию, зависящую от x и ? и равную разности кинетической и потенциальной энергий. Действие — это интеграл лагранжиана по времени:

(8.19)

Из всех возможных путей из начальной точки в конечную реальная частица выберет такой, на котором действие сведется к минимуму.

Теперь ситуация немного другая. Вместо частицы, занимающей какое-то положение в пространстве, мы будем говорить о динамике метрического тензора. Общая теория относительности — это пример теории поля, поскольку тензор gµv(t, xi), в отличие от такой частицы, — поле, которое имеет значение в каждой точке пространства-времени. Рассмотрим особую функцию

, которая называется плотностью Лагранжа. Чтобы найти лагранжиан, нужно проинтегрировать ее по всему пространству:

(8.20)

Обозначение d3x = dx1dx2dx3 указывает на то, что интеграл берется по всем трем измерениям пространства. Интегрируя функцию пространства-времени (плотность Лагранжа) по пространству, мы получаем функцию времени (собственно лагранжиан). Действие будет равно интегралу

по времени, или, что то же самое, интегралу

по пространству-времени: