Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной
Шрифт:
В сферической системе координат нам нужно выяснить лишь то, как метрика зависит от радиальной координаты r, так как зависимость от угловых координат (?, ?) четко определяется сферической симметрией. Выходит, что метрика вообще не будет зависеть от ?, а ? будет влиять на нее через множитель (sin ?)2 в правом нижнем элементе g??. Есть и другие упрощения. Одно из них заключается в том, что мы ищем статическое решение, то есть считаем пространство-время полностью неизменным во времени. Поэтому элементы метрики не будут зависеть от t. Также для простоты мы пока что не будем использовать внедиагональные элементы: пусть они остаются нулевыми.
Вас могут озадачить все эти догадки. Такой подход действительно кажется ненаучным, но речь
И наконец, внимательно глядя на выражение (9.2), подумаем о том, что говорят нам коэффициенты r2. Они показывают, что физические расстояния в угловых направлениях пропорциональны квадрату радиуса. И в этом скрыта хитрая особенность общей теории относительности: выбор системы координат и поиск метрики в ней — не две задачи, которые мы решаем одну за другой, а два параллельных процесса. Координаты не имеют никакого смысла, пока его не придаст им метрика, тогда как ее элементы имеют смысл лишь в какой-то системе координат.
Следовательно, мы можем просто заявить, что «r2» есть, по определению, «величина, входящая в состав угловых элементов g?? и g?? метрического тензора», а r, в свою очередь, есть такое число, при котором площадь произвольной сферы равна A = 4?r2, а длина произвольной окружности — C = 2?r. При этом нам не потребуется решать задачу в общем виде, то есть считать элементы метрики какими-то произвольными функциями. Мы сразу будем полагать, что g?? = r2, а g?? = r2(sin?)2, как уже и значится в выражении (9.2). Кроме того, в статических, сферически симметричных условиях r будет иметь какое-то фиксированное значение [28] .
28
Такой выбор означает, что r не обязательно (или, как выясняется, фактически) будет расстоянием от начала координат. Это какая-то другая физическая величина, и мы не знаем наперед, как она связана с расстоянием, измеренным относительно сферы того или иного радиуса. Мы можем взять сначала какое-то одно значение, а после посмотреть, что будет при другом. Площадь же сферы и длина окружности определяются чисто геометрически, так как мы в принципе говорим о сферах.
В итоге мы получаем метрику следующей формы:
(9.3)
Неплохо. Хитроумные, но чисто интуитивные догадки привели нас к довольно простой метрике, в которой неизвестны всего две функции одной переменной: A(r) и B(r).
Увы, хитроумие нам больше ничем не поможет. С этого момента нам, а фактически Шварцшильду, придется смириться с судьбой и вычислить сначала тензор Римана, а затем тензор Риччи. Здесь мы опустим всю эту математику, направив интересующихся к приложению Б, в котором описаны все нужные инструменты. Всем остальным просто сообщаю, что найти все члены левой части уравнения Эйнштейна возможно. Полученные выражения будут зависеть от A(r) и B(r), а также их производных по r.
Теперь нужно определить, что происходит в правой части уравнения Эйнштейна, то есть подумать о тензоре энергии-импульса. И здесь нас ждет хорошая новость: мы ищем метрику пространства-времени вне обладающего гравитацией тела, а это значит, что пространство пусто, а Tµ? = 0. По-настоящему сложные вещи творятся внутри этого тела, но в нашем случае пространство-время лишь искривляется рядом с ним.
Шварцшильд проделал все эти расчеты, которые показались ему несложными (что и неудивительно для человека с таким высоким уровнем интеллекта). И вот как в итоге выглядят функции A(r) и B(r):
(9.4)
Другими
(9.5)
Или в форме линейного элемента:
(9.6)
Великолепно, не правда ли? Мы получили точное решение уравнения Эйнштейна для пустого сферически симметричного пространства. Более того, путем искусных математических построений можно показать, что то, к чему мы пришли наполовину путем догадок, на самом деле единственно возможная метрика, при которой уравнение Эйнштейна выполняется в данных условиях. Вы можете возразить: а как же метрика Минковского? Ведь это еще одно возможное решение. Действительно, это так. Но метрика Минковского лишь частный случай решения Шварцшильда: достаточно подставить M = 0 в выражение (9.5) или (9.6).
Несколько слов о константах в формуле Шварцшильда. G — это, конечно же, гравитационная постоянная Ньютона, а M — масса объекта, гравитацию которого мы рассматриваем. Но если подойти к вопросу педантично, можно увидеть, что М не обязано быть массой, поскольку метрика (9.5) соответствует уравнению Эйнштейна при любых М. Но понимая это, мы можем решить, что M будет массой, и подтвердить свой выбор путем сравнения с ньютоновским пределом или аналогичными вещами. И в данном случае все действительно так. Однако нам следует помнить о том, что решения, принятые в силу их очевидности, обычно зависят от наших теоретических предпосылок и могут измениться при обновлении теорий, положенных в их основу.
Замедление времени
Внимательно глядя на метрику Шварцшильда (9.5), попробуем понять, о чем она говорит нам.
При помощи этой метрики мы можем вычислять расстояния в пространстве-времени. В том числе, мы можем найти собственное время ?, интегрируя
При движении по такой траектории пространственные координаты не изменяются, а значит, dr = d? = d? = 0. (Нет изменения, нет и приращений в соответствующих направлениях.) Поэтому мы можем узнать собственное время из формулы (9.6):
(9.7)
Проинтегрировать это выражение несложно. Извлечем из обеих его сторон квадратный корень. Множитель в скобках не зависит от t, то есть при разговоре о времени будет постоянным. Следовательно, для конечного интервала мы получаем:
(9.8)
Не забываем о том, что t — координатное время, придуманное нами для удобства, а ? — собственное время, которое на самом деле показывают часы. Согласно этой формуле затраты собственного времени будут пропорциональны изменению координатного времени t, а коэффициент пропорциональности зависит от радиальной координаты r.
Эту зависимость нетрудно интерпретировать. При больших значениях r коэффициент