Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной
Шрифт:
Большинство физиков сходится во мнении, что в природе нет сингулярностей: ни голых, ни каких-то иных. Мы живем в квантово-механическом мире, а значит, классическая по сути своей теория Эйнштейна перестает работать при некоторых условиях и не может все объяснить. Поэтому не нужно так рьяно цепляться за нее, а двигаться дальше, к новым теориям, которые сгладят сингулярности или, по крайней мере, снимут с повестки дня связанные с ними концептуальные вопросы. Что ж, будем надеяться на квантовую теорию гравитации. На сегодняшний день проблема сингулярностей еще актуальна.
Черные дыры
Радиус
Держа в руках метрику, мы можем построить световые конусы. Ведь именно они, а не системы координат или любимое многими разграничение на время и пространство показывают реальную структуру пространства-времени. Посмотрим, как будут выглядеть световые конусы на диаграмме пространства-времени с геометрией Шварцшильда, как бы его глазами.
В такой сферически симметричной геометрии в угловых направлениях ? и ? ничего интересного не происходит. Нам нужно говорить о координатах (t, r), и в них мы имеем нечто, похожее на этот рисунок. Давайте сначала рассмотрим его. Итак, мы нарисовали лучи света, проходящие через несколько точек, а также направленные в будущее световые конусы. Странная картина, скажете вы? Не удивительно: многие очень умные люди, включая Эйнштейна, десятки лет ломали над ней голову. Скоро мы поменяем систему координат, и все немного прояснится.
Да, здесь есть о чем поразмыслить. Справа, при больших значениях r, мы видим привычное нам пространство-время Минковского: нулевые траектории наклонены под углом 45°, а световые конусы направлены вверх. И это имеет физический смысл, поскольку вдали от черной дыры нет заметных гравитационных полей.
По мере приближения к горизонту событий (r = 2GM) световые конусы начинают складываться. Возникает странное впечатление, что мы не можем пересечь радиус Шварцшильда, ведь двигаться можно только в пределах световых конусов. Все дело в системе координат, которая перестает работать на этом участке, и скоро мы убедимся в этом.
За горизонтом событий творится нечто безумное. Сначала световые конусы очень широки, но по мере уменьшения r сужаются. При этом, что поразительно, они направлены влево, а не вверх. И мы по-прежнему обязаны оставаться в их пределах. Следовательно, перемещаясь в сторону уменьшения r за горизонтом событий черной дыры, мы движемся вперед по времени.
Становится ясно, что мы ошибались при размышлениях об r = 0. Интуитивно представляя себе плоское пространство-время, мы принимали эту точку как некое место, начало координат в центре черной дыры. Но это не так. На самом деле r = 0 — не точка в пространстве, а момент во времени. Более того, этот момент неизбежно настанет для всех, кто находится в черной дыре. Как бы мы ни старались, пройти мимо сингулярности не удастся: это не проще, чем обойти стороной завтрашний день.
Вы спросите: как же мы догадались об этом? Но разве мы не хозяева собственных координат, не можем определять их по своему усмотрению? Конечно хозяева. Но здесь мы уже сделали выбор, определили r как радиус сферы, которая окружает источник гравитации. И эта система координат
Попробуем разобраться в причудливых трансформациях r и убедиться в том, что все еще остаемся в реальном мире: поговорим о формулах, определяющих световые конусы.
Что значит «построить световой конус»? Мы выбираем точку и проводим линии, движение по которым не изменяет пространственно-временного положения: ds2 = 0. Вернувшись к линейному элементу (9.6) и вычеркнув из него ? и ? (так как движения в этих направлениях нет), получим:
(9.10)
Поупражняемся в математике. Перенесем второе слагаемое в правую часть, умножим обе части на –1, чтобы убрать неудобные минусы, а затем разделим на (1–2GM/r). Запишем:
(9.11)
Сплошные квадраты. Давайте извлечем из них корень (не забывая добавить знак «±», чтобы учесть, что до возведения в степень числа могли быть и отрицательными), а затем разделим все на dr:
(9.12)
Мы получили то, что нам нужно: dt/dr, уклон небольшого сегмента линии, которая ограничивает световой конус. (Не забываем о том, что мы говорим о светоподобных, а не о каких-то произвольных траекториях.) Знак «±» показывает, что таких линий две, и они расходятся от центра в разные стороны.
Теперь посмотрим, какие конусы мы получим. При больших r выходит, что 2GM/r ? 0, а dt/dr ? ±1, то есть светоподобные траектории наклонены под углом около 45°, как в пространстве-времени Минковского. Это мы видим и на рисунке.
Когда r стремится к 2GM, 1–2GM/r стремится к нулю, а dt/dr — к ±?. Конусы начинают сужаться и схлопываться: уклон светоподобных траекторий растет, они приближаются друг к другу. Можно было бы ожидать, что на горизонте событий они сольются в одну линию.
Строго в точке r = 2GM, то есть на радиусе Шварцшильда, элементы метрики утрачивают значение. Пропустим пока эту точку. А дальше, если мы как-то пройдем за горизонт событий, начинаются чудеса. При r < 2GM значение 2GM/r превышает единицу, а число 1–2GM/r становится отрицательным. Поэтому слагаемые gtt (в которое входит dt2) и grr (в которое входит dr2) в формуле (9.6) меняют знак.