Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

Кэрролл Шон

Современные астрофизики полны ожиданий и надежд. Ведь перед ними открылось еще одно окно, через которое видно космос. Мы, разумеется, узнаем много нового о черных дырах и жизненных циклах звезд, структуре галактик и даже, быть может, о форме и размерах Вселенной. Настоящие ученые всегда готовы узнать что-то совершенно неожиданное.

Приложения

Приложение A. Функции, интегралы и производные

На случай, если вы вдруг преисполнитесь сил заняться решением уравнений, которые мы обсуждали, в этом приложении мы рассмотрим наиболее часто встречащиеся функции и операции с ними.

Несколько слов об обозначениях. Мы часто используем буквы из конца алфавита (например, x, y и z) в качестве переменных —

величин, которые нам неизвестны и которые нужно найти. Начальные буквы алфавита (например, a, b и c) обычно обозначают константы — некоторые определенные значения. Буквы f, g и им подобные традиционно используются для функций, отображающих одну переменную на другую. Едва ли не в каждой книге встречаются формулы типа f(x) = ax + b, где x — переменная, a и b — константы, а f(x) — функция от x. При этом переменная x может принимать любые, совершенно произвольные значения, тогда как константы a и b неизменны, даже когда их точные значения нам неизвестны или непринципиальны. Это различие очень важно.

Все это, конечно, просто традиция. Никто не запрещает использовать любые буквы. К тому же мы скоро исчерпаем латинский алфавит и будем вынуждены прибегнуть к греческому.

Определенные и неопределенные интегралы

Во время знакомства с интегралами в главе 2 мы упустили одну важную деталь: интеграл представляет собой площадь под кривой. Но это имеет смысл только в том случае, если мы указываем начало и конец области, площадь которой мы ищем. Поэтому различают определенные интегралы, для которых начальная и конечная точки заданы, и неопределенные, для которых они не указываются.

Пусть F(x) — интеграл некоей функции f(x), то есть:

(A.1)

Это и есть неопределенный интеграл. На самом деле мы упускаем здесь одну важную вещь. Поскольку начальная и конечная точки не указаны, мы не можем получить точное значение интеграла. Поэтому, строго говоря, мы должны были бы добавить к этому выражению произвольную постоянную С (то есть написать «F(x) + C») [31] . Однако часто этот факт считается очевидным для читателя, и произвольная постоянная опускается. В большинстве случаев в этой книге под словами «интеграл функции» понимается именно неопределенный интеграл.

31

Пришел как-то математик в бар для физиков и встретил там старого друга, физика-теоретика. Взяли по пиву, разговорились.

— У нас тут все знатоки математики, — похвастался физик, — даже официантки.

— Не может такого быть, — засомневался математик и подозвал ближайшую. — Скажите, девушка, чему равняется интеграл от икс-квадрат по дэ-икс?

— Одна треть икс-куб, — сообщила та, не задумываясь.

— Вот видите, коллега, — обрадовался физик, — а вы сомневались.

— Ступайте, девушка, вам незачет, — грустно сказал математик. — Как же можно было забыть про плюс це?

Для определенных интегралов начальная и конечная точки указываются начальная под знаком, а конечная — над ним:

(A.2)

Таким образом, определенный интеграл — это разность между значениями неопределенного интеграла в конечной и начальной точках. Давайте посмотрим, как это работает.

Постоянные функции

Рассмотрим очень простую функцию, а именно постоянную: f(x) = c. Тут особенно

не о чем говорить, но с чего-то же надо начать. У постоянной функции наклон отсутствует, а значит, производная, без всяких сомнений, равна нулю:

(A.3)

Неопределенный интеграл будет пропорционален x:

(A.4)

Это означает, что определенный интеграл будет пропорционален расстоянию между начальной и конечной точками:

(A.5)

В этом легко убедиться, посмотрев на следующий рисунок. Здесь c = 2, a = 1, а b = 3. Площадь под кривой составляет 2 x (3–1) = 4, чего и следовало ожидать.

В формуле (A.5) скобки показывают, что число c умножается на разность b — a, а не то, что b — a — аргумент функции с, как x в выражении f(x). Обозначения одинаковы, но смысл разный. Предполагается, что читатель понимает его из контекста.

Линейные комбинации

В математике суммы, похожие на af(x) + bg(x), где a и b — константы, называются линейными комбинациями функций f(x) и g(x). При этом слово «линейная» означает, что каждая из функций входит в выражение только один раз и только в первой степени. Умножение и возведение в другие степени — операции нелинейные.

Интегрирование и дифференцирование — линейные операции, то есть производная линейной комбинации равна линейной комбинации производных. То же самое касается и интегралов. Для производных имеем:

(A.6)

Для интегралов:

(A.7)

То же самое (разумеется) происходит и в случаях, когда второго слагаемого нет, то есть мы ищем производную либо интеграл от af(x). В таких случаях мы «выносим константу за знак производной (или интеграла)». А так как мы интегрируем по x (на что указывает обозначение dx), мы можем считать константой все, что не зависит от x, даже если речь идет о функциях других переменных: ?f(x)g(y)dx = g(y)?f(x)dx.

Произведения

Поговорим о произведении двух функций, f(x)g(x). Мы будем опускать (x) и писать fg: так будет понятней. В таких случаях используется простая, но не слишком интуитивная формула:

(A.8)

То есть у нас «сумма произведения первой функции на производную второй и произведения второй функции на производную первой». Это так называемое правило Лейбница (про которого мы уже не раз говорили).