Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Из равенства треугольников B₁SA₂ и B₃SA₂ следует также равенство треугольников A₁SA₂ и A₂SA₃, т. е. равенство всех боковых ребер. Это означает, что вершина S проецируется в центр основания А₁А₂А₃.

Тем самым доказано, что пирамида правильная.

3.14. Достроим пирамиду до полной. Все параллельные сечения пирамиды подобны. Составим схематический рис. P.3.14, на котором А и B — стороны квадратов, равновеликих основаниям, M — сторона квадрата, равновеликого сечению, проходящему через середину высоты данной усеченной пирамиды. Последнее условие мы запишем так:

Из подобия треугольников, изображенных на рис. P.3.14, следует, что

откуда

Составим среднее арифметическое величин А и B:

что и требовалось доказать.

3.15. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCE (рис. P.3.15). Угол DAE равен углу между AD и BC. Обозначим его через x.

B треугольнике DAE

AD = а₁, AE = а.

Вычислим DE. Так как в дальнейшем мы воспользуемся теоремой косинусов, то удобнее находить DE^2.

Отрезок DO является медианой в треугольниках ADC и BDE:

Чтобы найти DE^2, достаточно вычислить BE^2. Но ВЕ — диагональ параллелограмма ABCЕ, т. е. ВЕ^2 = 2а^2 + 2с^2 - b^2. Следовательно,

Применим к треугольнику ADE теорему косинусов:

DE^2 = a₁^2 + a^2 - 2aa₁ cos x.

Приравнивая два выражения для DЕ^2, найдем cos x. При этом следует иметь в виду, что по определению

угла между скрещивающимися прямыми x — острый угол.

Ответ.

3.16. Плоскость ABE (рис. P.3.16) делит тетраэдр на две пирамиды SABE и CABE с общим основанием ABE.

Так как отношение объемов дано, а основание у пирамиды общее, то h₂ : h₁ = 5 : 3, в силу же равенства SD = CD имеем

^sin /_sin = ³/₅, т.е. sin = ³/₅ sin .

Кроме того, так как тетраэдр правильный, углы и образуют угол SDO, косинус которого равен 1. Поэтому

cos cos - sin sin = 1/3 .

Выразив в этом уравнении sin и cos через sin (так как пирамида правильная, углы и острые), получим

где y = sin^2 .

Возведем в квадрат и раскроем скобки; найдем y = ²/₁₁ и вычислим tg :

Поскольку sin^2 = ²⁵/₉ sin^2 = ⁵⁰/₉₉, то аналогично найдем tg .

Ответ. ⁵²/₇, ²/₃.

3.17. Треугольники DAM и DMS (рис. P.3.17) имеют общую высоту, проведенную из вершины D. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований AM и MS.

< image l:href="#"/>

Из подобия треугольников MSF и ASK следует, что AM : MS = KF : FS.

Отрезки KF и FS выразим через KE. По теореме синусов для треугольника KFE имеем

KF = KE ^sin /_{sin ( + )}.

Так как KS = ^KE/_{2 cos} , то

FS = KS– KF = ^KE/_{2 cos} – KE ^sin /_{sin ( + )} = KE ^{sin ( - )}/_{2 cos sin ( + )}

(впрочем, это можно установить и непосредственно из треугольника EFS).

Остается найти отношение KF : FS.

Ответ. ^{2 sin cos} /_{sin ( - )}.