Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

3.18. По условию высоты DO пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Поэтому, соединив точку О с вершиной С и продолжив до пересечения с AB, получим отрезок СЕ, являющийся высотой треугольника ABC, опущенной на сторону AB (рис. P.3.18).

Прямая AB перпендикулярна к DO и EC, следовательно, прямые AB и CD тоже

перпендикулярны друг другу. Таким образом, прямая CD перпендикулярна к двум прямым BD и AB плоскости ABD, а потому перпендикулярна к прямой AD. Мы доказали, что угол ADC прямой. Аналогично доказывается, что прямые BD и AD тоже перпендикулярны.

Теперь нетрудно ответить на вопрос задачи: площадь треугольника ADB равна 1/2 b · AD, а площадь треугольника ADC равна 1/2 с · AD. Отношение площадей равно отношению неравных катетов.

Ответ. ^b/_c.

3.19. Объем пирамиды SABC (рис. P.3.19) равен удвоенному объему пирамиды с основанием DSC и высотой AD.

Так как AD = ^a/₂, то этот объем равен ^Sa/₆, а объем всей пирамиды равен ^Sa/₃, где через S обозначена площадь SDC.

Проведем высоту DE и вычислим EC и DE.

Треугольник CAS равнобедренный (AS = AC), поэтому

EC = AC ^sin /₂ = ^a/_{2 cos} sin /₂.

Так как DC = ^a/₂ tg , то

Остается вычислить объем:

V = ^aS/₃ = ^a/₃ · DE · EC.

Ответ.

3.20. Рассмотрим два случая:

 <= /₂, > /₂.

Если угол не тупой, то (рис. P.3.20, a) CD = SD = ^AB/₂.

Пусть SO — высота пирамиды, SD и SE — высоты

в треугольниках ASB и CSB. Из треугольника SOD

OS = SD sin = ^AB/₂ sin , OD = ^AB/₂ cos .

B треугольнике COE угол OEC прямой, а угол OCE равен 45°. Поэтому

OE = ^OC/₂ = ¹/₂(CD–  OD) = ^AB/₂₂(1 - cos ).

Теперь можно найти тангенс искомого угла:

tg x = ^OS/_OE = 2 ctg /₂.

Если угол тупой, то (рис. P.3.20, б) снова получим CD = SD = ^AB/₂. Высота OS равна

OS = SD sin ( - ) = ^AB/₂ sin ,

отрезок OD равен

OD = SD cos ( - ) = - ^AB/₂ cos

(угол тупой и cos < 0). Треугольник СОЕ тоже прямоугольный и равнобедренный. Поэтому

OE = ^CO/₂ = ¹/₂(CD + OD) = ^AB/₂₂(1 - cos ).

Так как для OE и OS получились такие же значения, как в первом случае, то и окончательный результат не изменится.

Ответ. x = arctg (2 ctg /₂). 

3.21. Проведем в треугольнике ABC (рис. P.3.21) высоту BD и соединим точку D с вершиной S пирамиды. Так как ребро SB образует равные углы с ребрами SC и SA, то SD — биссектриса угла ASC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. B нем

AD = SA · tg /₄, AB = SA · tg , т. е.

Так как — угол прямоугольного треугольника, то 0 < < /₂, а потому tg /₄ < tg и правая часть уравнения меньше единицы.

Ответ.