Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

т. е.

sin ^5x/₄ + cos x = 2.

Так как sin ^5x/₄ <= 1 и cos x <= 1, то последнее уравнение равносильно системе

Решения второго уравнения x = 2k подставим в первое уравнение. Выражение sin ^5x/₂ перепишем в виде sin (2k + ^5x/₂) = sin ^k/₂,

откуда следует, что sin ^5x/₄ = 1 лишь при k = 4n + 1.

Ответ. x = 2(4n + 1).

13.46. Введем новое неизвестное

Получим квадратное уравнение относительно y:

корни которого

Обозначим

 и подставим в (6) вместо y его выражение (5) через x. Получим следствие исходного уравнения

т. е.

±z^2 + 4z– 5 = 0. (7)

Решая каждое из квадратных уравнений (7), найдем два действительных корня: z₁ = -5, z₂ = 1. Из них подходит только 2 = 1. Следовательно,

cos (x–  /₄) = 1, откуда x = /₄ + 2n.

Остается сделать проверку, которая осуществляется непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Ответ. x = /₄ + 2n.

13.47. Система уравнений может быть переписана так:

Если cos x = 0, то x = (2k + 1)/₂ и, следовательно, cos 7x = 0. Поэтому первое уравнение равносильно уравнению cos 7 x = 0, т. е.

2 cos^2 ^7x/₂ = 1 и cos^2 ^7x/₂ = 1/2 .

Возведя второе уравнение системы в квадрат, получим теперь, что одновременно и cos^2 ^x/₂ = 1/2 . Таким образом, исходная система уравнений равносильна совокупности двух систем

в которых множество решений вторых уравнений входит в множество решений первых. (Докажите.) Это означает, что система сводится к совокупности двух вторых уравнений

cos ^x/₂ = ±¹/₂, т. е. cos^2 ^x/₂ = 1/2 ,

откуда cos x = 0 и x = (2k + 1)/₂.

Из найденной серии чисел отбираем те, которые удовлетворяют ограничению |x| < 5.

Ответ. x = ±/₂, ±³/₂.

13.48. Преобразуем левую часть уравнения, пользуясь тем, что tg x = ^{sin x}/_{cos x}, tg^2 x = ¹/_cos^2 x – 1, а cos x /= 0:

Для правой части уравнения получим

При cos x /= 0 и дополнительном ограничении cos 2x /= 0 приведем исходное уравнение к виду

2 sin x cos 2x + sin x = 2 + cos ^6x/₅.

Произведение 2 sin x cos 2x преобразуем в разность синусов. Тогда в левой части останется только sin 3x (так как 2sin x cos 2x = sin 3x– sin x) и уравнение примет вид

sin 3x = cos ^6x/₅ + 2.

Такое возможно лишь при условии, что одновременно

cos ^6x/₅ = -1, а sin 3x = 1.

Поэтому данное в условии уравнение равносильно системе:

Не следует решать каждое из уравнений и отдельно записывать для них общие ограничения. Это не приведет к результату. Лучше начать с первого уравнения — его корни имеют простую запись, а затем отсеивать из решений первого уравнения те, что не удовлетворяют остальным требованиям. Итак, из уравнения cos ^6x/₅ = -1 найдем, что

^6x/₅ = (2k + 1), т. е. x = 5(2k + 1)/₆.

Проверим, чему равняется при найденных x значение sin 3x. Поскольку

3x = 5(2k + 1)/₂ = 5k + 5/₂,

то найти sin 3x мы сможем, рассмотрев две возможности: k = 2n, k = 2n + 1.

При k = 2n, т. е. k — четном

3x = 10n + 5/₂ = 10n + 2 + /₂.

Мы выделили период и поэтому sin 3x при k = 2n равняется sin /₂ = 1, т. е. второе уравнение системы удовлетворяется. Если же k = 2n + 1, т. е. k — нечетное, то