Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
3x = 5(2n + 1) + 5/2 = 10n + 5 + 2 + /2 = 10n + 4 + + /2,
т. е. sin 3x = -1. На этот раз второе уравнение системы не удовлетворяется.
Обоим уравнениям удовлетворяют значения x = 5(4n + 1)/6. (Мы просто подставили k = 2n в найденное выше выражение для x.)
Перейдем
x = 20n/6 + 5/6 = 10n/3 + 5/6.
Чтобы при разных n вычислить cos x, нужно рассмотреть случаи n = 3m, n = 3m + 1, n = 3m– 1. (Обратите внимание, что вместо n = 3m– 1 можно рассматривать n = 3m + 2, но n = 3m– 1 удобнее.)
Для n = 3m получим
x = 10m + 5/6, cos x = cos 5/6 /= 0;
при n = 3m + 1:
x = 103m + 1/3 + 5/6 = 10m + 10/3 + 5/6 = 10m + 25/6 = 100 + 4 + /6,
т. е. cos x = cos /6 /= 0,
при n = 3m– 1:
x = 103m - 1/3 + 5/6 = 10m– 10/3 + 5/6 = 10m– 15/6 = 10m– 2 - /2,
т. е. cos x = cos (-/2) = 0.
Итак, значение n = 3m– 1 не подходит, а при остальных n ограничение cos x /= 0 удовлетворяется.
Остаются два варианта:
x = 5(12m + 1)/6, x = 5(12m + 5)/6, m = 0, ±1, ±2.
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что cos 2 x /= 0 для каждого из найденных значений.
Ответ. 5(12m + 1)/6; 5(12m + 5)/6.
13.49.
Все эти ограничения равносильны условию sin 4x /= 0, поскольку
sin 4x = 2 sin 2x cos 2x = 4 sin x cos x cos 2x.
Если sin 4x /= 0, то все последующие преобразования правомерны. Преобразуем левую часть, воспользовавшись соотношениями:
tg^2 x + 1 = 1/cos^2 x, cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x.
Тогда
Так как cos 2x /= 0, cos x /= 0, то
4 cos^2 x– 1 = cos 3x/sin x.
Поскольку 2 cos^2 x = 1 + cos 2x и sin x /= 0, получим
2 cos 2x sin x + sin x = cos 3x,
или
sin 3x– sin x + sin x = cos 3x,
т. е. tg 3x = 1, откуда 3x = /4 + k = /4(4k + 1), k = 0, ±1, ±2, или x = /12(4k + 1).
Теперь нужно позаботиться о соблюдении ограничения sin 4x /= 0, т. е. 4x /= n, x /= n/4.
Равенство
/12(4k + 1) = n/4, или /3(4k + 1) = n, (8)
может иметь место, когда 4k + 1 делится на 3. Поэтому рассмотрим три случая: k = 3m, k = 3m + 1, k = 3m– 1. Тогда для 4k + 1 получим
4(3m) + 1 = 12m + 1,
4(3m + 1) + 1 = 12m + 5,
4(3m– 1) + 1 = 12m– 3 = 3(4m– 1).
Последний из вариантов должен быть исключен, так как именно в этом случае равенство (8) имеет место.
Ответ. /12(12m + 1); /12(12m + 5).