Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Ответ.– 14.

Образцы вариантов экзаменационных билетов

Московский государственный авиационный институт (технический университет) (МАИ)

1. Сумма первых одиннадцати членов арифметической прогрессии 418. Найдите шестой член этой прогрессии.

2. Решите уравнение

cos 2x = 2 - 23 cos x sin x.

3. Основанием наклонной треугольной призмы служит равносторонний треугольник. Сечение, проходящее через среднюю

линию верхнего основания и одну из сторон нижнего основания, перпендикулярно основаниям призмы. Найдите объем призмы, если известно, что площадь сечения 30 м^2, а радиус окружности, описанной около основания, ¹⁰/₃ 3 м.

4. Решите систему уравнений

5. Решите неравенство

8(-2^x + 3^x)(-2^{x - 1} + 3^x)(-2^x + 3^{x + 1})(-2^{x– 2} + 3^x) + 81^x <= 0.

6. Сторона треугольника имеет длину 9 см, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см. Найдите наименьшее возможное значение, которое может достигать площадь данного треугольника.

Московский государственный инженерно-физический институт (технический университет) (МИФИ)

1. Решите уравнение

|-sin x| = 2 cos x.

2. Решите неравенство

(9x^2 - 9x + 2) log₂ 3x >= 0.

3. Разность цифр двузначного натурального числа A равна 4, а сумма квадратов цифр этого числа больше произведения его цифр на 37. Найдите число A.

4. Найдите сумму действительных корней уравнения

x^2 + 2(с^2 + 2с)x + 4с^3 - 2с^2 + 40 = 0

и укажите, при каких с R эта сумма принимает наибольшее значение.

5. Основанием треугольной пирамиды SABC служит треугольник АВС, y которого ВС = 1, СА = 13, а высота СЕ = 105. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью АВС угол величиной . Определите площадь основания и объем пирамиды.

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) (МИЭМ)

1. Решите уравнение

2. Решите уравнение

|6 cos x– 1| = 4 cos 2x + 3.

3.

Решите неравенство

log₂ (3x– 5) + log _1/4 (2x– 1) < 1.

4. В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту пирамиды в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите объем пирамиды, если апофема пирамиды равна а.

5. При а = 1 решите уравнение

(4a + 2) sin x + 2a cos 2x + а + 1 = 0

и определите все значения а, при которых это уравнение имеет ровно одно решение, принадлежащее отрезку [0; ⁵/₆].

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана (МГТУ)

1. Из пункта А в пункт В одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошел половину пути, второму осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось пройти 15 км. Найдите расстояние от пункта А до пункта В.

2. Найдите все корни уравнения

cos 2x + cos 6x = cos 4x,

принадлежащие промежутку [/₂; ].

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство 2^{x + 1} + 3 < 2^{1 - x}.

5. Какая наибольшая площадь может быть y прямоугольного треугольника, одна вершина которого совпадает с точкой M(5; 0), другая лежит на графике функции y = x^3(5 - x), 0 <= x <= 5, а вершина прямого угла — на оси Ox?

6. Найдите все значения p, при которых система уравнений

имеет единственное решение.

7. Основанием пирамиды ТАВС служит треугольник АВС с углом А, равным 60°. Боковое ребро ТА совпадает с высотой пирамиды и равно h; ребро ТС перпендикулярно стороне основания ВС, а угол между ребром ТВ и биссектрисой основания АD равен 60°. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через биссектрису АD и пересекающую ребро ТВ?