Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Если n = 0, то arcsin x = /₁₂,

Если n = -1, то arcsin x = -/₄,

x₂ = sin (-/₄) = -¹/₂.

Если n = 1, то arcsin x = ⁵/₁₂,

Ответ.

22.9.

Если x — корень данного уравнения, то и -x будет его корнем. Поэтому достаточно найти лишь неотрицательные корни. Если x >= 0, то

Перенеся в правую часть уравнения, получим = - , причем 0 <= <= /₂ и -/₂ <= - <= /₂. Поскольку обе части уравнения находятся в интервале монотонности синуса, то данное уравнение равносильно такому:

sin = sin ( - ).

Последнее уравнение можно записать в виде

добавив к нему условие |^4x/₅| <= 1, являющееся в данном случае следствием уравнения. Получаем x₁ = 0.

Остается

 а после возведения в квадрат

Делаем проверку иррационального уравнения.

Ответ. ±1, 0.

22.10. Из условия следует, что x > 0. В таком случае

Уравнение примет вид + = /₃, и обе его части окажутся в интервале (0, ], который является интервалом монотонности косинуса. Следовательно, уравнение

cos ( + ) = cos /₃

равносильно данному. Раскрывая скобки и заменяя тригонометрические функции и их выражениями через x, придем к уравнению

После возведения в квадрат получим

4(1 - 4x^2)(1 - x^2) = (4x^2 + 1)^2.

При переходе к последнему уравнению могут появиться посторонние корни из-за того, что обе левые скобки могут стать отрицательными. Чтобы избежать этого, добавим условие |2x| <= 1.

Уравнение 28х^2 - 3 = 0, к которому сводится последнее, имеет корни

 Из них следует выбрать первый, так как он положителен и так как

Ответ.

22.11. Обозначим

arctg (2 + cos x) = , arctg (2 cos^2 ^x/₂) = .

Так как 2 + cos x > 0 и 2 cos^2 ^x/₂ > 0, то 0 < < /₂ и 0 <= < /₂.

Уравнение принимает вид - = /₄, причем

– /₂ < - < /₂

и -/₂ < /₄ < /₂.

Так как (-/₂, /₂) — интервал монотонности тангенса, то уравнение - = /₄ равносильно уравнению tg ( - ) = tg /₄.

Переходя к уравнению

мы можем потерять те корни, для которых tg или tg не существует. В нашем случае этого не произойдет, поскольку

tg = 2 + cos x, tg = 2 cos^2 ^x/₂,

а правые части существуют всегда. Получаем уравнение

которое после преобразований принимает вид

2 cos^{4 x}/₂ + cos^2 ^x/₂ = 0.

Так как уравнение 2 cos^2 x + 1 = 0 не имеет решений, то остается cos x = 0.

Ответ. (2n + 1).

22.12. Пусть

Так как -/₂ < - <= /₂, то обе части уравнения лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому уравнение равносильно такому:

sin ( - ) = sin

или

После упрощений получим уравнение

имеющее единственный корень x = 2/3 . Делаем проверку и убеждаемся, что x = 2/3 является корнем предыдущего уравнения и, следовательно, корнем исходного уравнения.

Ответ. 2/3 .

22.13. Введем обозначения

Наше уравнение принимает вид + + = или + = - . Обе части уравнения лежат в интервале (-, ). Если мы возьмем котангенсы от обеих частей уравнения, то можем потерять лишь корень, которому соответствует значение углов, равное 0, так как это — единственное значение из интервала (-, ), в котором котангенс не существует. Проверим, будет ли выполняться равенство + = - = 0. Если + = 0, то arctg (1 - x) = arctg x, откуда 1 - x = x и x = 1/2 . При x = 1 получим, что - = arctg ³/₂– arctg ³/₂ = 0. Таким образом, x₁ = 1/2 — корень уравнения. Если + /= 0, то от обеих частей уравнения можно взять котангенсы:

ctg ( + ) = ctg ( - ),

что приведет к следствию исходного уравнения. Раскрыв скобки и подставив выражения тригонометрических функций , , и через x, получим уравнение

которое равносильно системе

Получаем два значения неизвестного: x₂ = 0, x₃ = - 1/2 . Проверкой убеждаемся, что оба значения удовлетворяют данному уравнению.

Ответ. 0, ± 1/2 .