Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Глава 23

Область определения. Периодичность

23.1. С одной стороны, log₃sin x <= 0, так как sin x <= 1, а с другой стороны, log₃sin x >= 0, так как это выражение стоит под знаком квадратного корня. Остается единственная возможность:

log₃sin x = 0, sin x = 1, x = ^{(4n + 1)}/₂.

Ответ. ^{(4n + 1)}/₂.

23.2.

Чтобы найти область определения данной функции, нужно решить систему

которая эквивалентна неравенству

0 < x^2 - x– 1 < 1, или (х^2 - x– 1)(х^2 - x– 2) < 0,

т. е.

(x– ^{1 - 5}/₂)(x - ^{1 + 5}/₂)(x + 1)(x– 2) < 0.

Ответ.– 1 < x < ^{1 - 5}/₂; ^{1 + 5}/₂ < x < 2. 

23.3. Данное выражение принимает действительные значения, если x удовлетворяет неравенству

которое равносильно неравенству

Его можно заменить системой

Ответ. ³/₂ < x <= 4.

23.4. Чтобы существовал арккосинус, необходимо и достаточно, чтобы

– 1 <= x^2 - Зх + 1 <= 1,

т. е.

(х^2 - Зх + 2)(х^2 - Зх) <= 0, или x(x– 1)(x– 2)(x– 3) <= 0,

откуда

0 <= x <= 1, 2 <= x <= 3.

Из найденных интервалов нужно исключить точки, в которых tg 2x не существует, т. е. числа x = ^{(2n + 1)}/₄. Два из этих чисел: x = /₄ и x = ³/₄ лежат в найденных интервалах.

Ответ. 0 <= x < /₄, /₄ < x <= 1, 2 < x < ³/₄, ³/₄ < x <= 3.

23.5. Данное выражение принимает действительные значения, если удовлетворяется система неравенств

Решением этой системы будет часть плоскости, лежащая внутри параболы y = x^2, вне круга x^2 + y^2 = 1 и ниже прямой y = 2,

причем точки, лежащие на границе и принадлежащие или прямой, или параболе, не входят в область, а точки, лежащие на окружности (кроме точек А и С — рис. P.23.5), входят в область определения.

23.6. Способ 1. Пусть Т — период функции. Тогда

cos (x + Т)^2 = cos x^2

при всех x. Если x = 0, то получим cos Т^2 = 1, откуда Т^2 = 2n. Если x = Т2 , то cos (2 + 1)^2Т^2 = cos 2Т^2, откуда или

(2 + 1)^2Т^2 + 2Т^2 = 2k, или (2 + 1)^2Т^2 - 2Т^2 = 2m,

т. е.

либо (2 + 22)Т^2 = 2k, либо (1 + 22)Т^2 = 2m.

Подставляя в оба выражения Т^2 = 2n, получим соответственно

5 + 22 = ^k/_n или 1 + 22 = ^m/_n,

что невозможно, так как слева стоят иррациональные числа, а справа — рациональные.

Способ 2. Найдем корни функции cos x^2:

Рассмотрим положительные корни

Предположим, что Т > 0 — период функции. Тогда, если при x = х₁ функция равна нулю, то и при x = x₁ + Т она тоже равна нулю. Другими словами, х₁ + Т = x_m. Аналогично x₂ + Т = х_k. Вычитая одно равенство из другого, получим

т. е.

Возведем в квадрат:

После вторичного возведения в квадрат получим

Это равенство возможно лишь при 

, так как все остальные его элементы — целые. Однако числа k и m выбраны так, что k >= 3 и m >= 2, т. е. k + m > 3.