Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Глава 22
Обратные тригонометрические функции
22.1. Введем обозначения:
В этих обозначениях равенство примет вид
2 = /4– ,
причем правая и левая части лежат в интервале (0, /2). Возьмем тангенсы от каждой из частей:
Так как тангенс является монотонной функцией в интервале (0, /2), то равенство доказано.
22.2. Пусть
Так
Наше выражение принимает теперь вид
/4 + arcsin 2/4.
Поскольку arcsin 2/4 > arcsin 2/2, то
0 < /4 + < /2,
где = arcsin 2/4 и sin = 2/4. Найдем
Поскольку мы оказались в интервале монотонности синуса, то остается воспользоваться определением арксинуса.
Ответ. arcsin [7 + 1/4].
22.3. Рассмотрим сначала первое и третье слагаемые:
arctg (-2) = , tg = -2, -/2 < < 0;
arctg (- 1/3 ) = , tg = - 1/3 , -/2 < < 0.
Таким образом, - < + < 0, что не является областью главных значений какой-нибудь обратной тригонометрической функции. Поэтому прибавим ко всем частям неравенства : 0 < + + < . Теперь + + попадет в область значений арккотангенса, что обеспечивает взаимно однозначный переход к обратным функциям. Найдем
Следовательно,
+ + = arcctg (-1/7), т. е. + = -arcctg 1/7.
Наше выражение равно arcsin 1/3 - arcctg 1/7. Пусть
arcsin 1/3 = , sin = 1/3 , 0 < < /2;
arcctg 1/7 = , ctg = 1/7, 0 < < /2.
Так как -/2 < - < /2, что является интервалом значений арксинуса, то вычислим синус от - :
sin ( - ) = sin cos - cos sin .
Так как
cos = 22/3, cos = 1/52, sin = 7/52,
то
Ответ. arcsin 2 - 28/30.
22.4. Сумма существует при 0 <= x <= 1. Введем обозначения и используем определение арксинуса:
Так как сумма + лежит в интервале [0, ], который является интервалом монотонности косинуса, то имеется взаимно однозначное соответствие между + и cos ( + ) при условии, что 0 <= x <= 1. Так как
то + = /2.
Ответ. /2
22.5. Оценим = (x^2 + x– 3), если 0 <= x <= 3 - 1/2.
Имеем
Следовательно,
где 0 <= 3/2– 4 - <= /2. Окончательно получаем
arccos sin = - 3/2 + 4 + = 7/2 + .
Ответ. 7/2 + (x^2 + x– 3).
22.6. При 0 <= x <= 1 оба арксинуса существуют. Для первого это очевидно, а для второго имеем
Следовательно,
и, тем более,
Введем обозначение
arcsin x = , sin = x, 0 <= <= /2;
Нужно доказать, что - = /4, или - /4 = . Так как -/4 <= - /4 <= /4, то - /4 и лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому, если мы докажем, что синусы этих аргументов равны, то тем самым будет доказано и равенство самих аргументов. Поскольку
(перед корнем взят знак плюс, так как cos >= 0 при 0 <= <= /2).
Итак, доказано, что sin ( - /4) = sin , откуда следует справедливость нашего равенства.
22.7. Так как x < -1, то -1 < 2x/1 + x^2 < 0. Введем обозначения
Следовательно,
– 3/2 < + 2 < -/2,
т. е. данное выражение лежит в интервале монотонности синуса. Найдем
После подстановки получим
т. е. + 2 = -.
Ответ.– .
22.8. Из уравнения следует, что
arcsin x = /12 + n/3.
Поскольку -/2 <= arcsin x <= /2, то возможны лишь три значения n = 0, -1, 1.