Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

2. Если [23]– 2 <= x <= -1, то легко проверить, что y = 4.

3. Если -1 <= x <= 1, то y = -2x^2 + 2x + 8.

Так как ветви параболы направлены вниз, то наименьшее значение нужно искать на концах интервала: при x = -1 мы уже видели, что y = 4; при x = 1, y = 8.

23

Во всех случаях удобно граничную точку относить к обоим интервалам, чтобы не столкнуться с ситуацией, когда наименьшее значение не достигается.

4.

Если 1 <= x <= 2, то y = 2x + 6. Наименьшим будет значение в точке x = 1.

5. Если x >= 2, то y = 2x^2 + 2x– 2.

Абсцисса вершины этой параболы x = - 1/2 ; она лежит левее точки x = 2. Следовательно, наименьшее значение достигается при x = 2, т. е. y = 10.

Ответ. y_min = 4 при -2 <= x <= -1.

24.6. Заменим ^a/_x на сумму из семи одинаковых слагаемых, каждое из которых равно ^a/_7x. К функции

x⁷ + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x + ^a/_7x

применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

 Равенство достигается при

 

Ответ.

24.7. Если ввести углы x и y (рис. P.24.7), то по теореме синусов AB + BC + 2R(sin x + sin y) = 4R sin [^– /₂] cos [^{x– y}/₂].

Наибольшее значение этого выражения достигается при cos [^{x– y}/₂] = 1, т. е. при x– y = 0. Так как x + y = - , то x = /₂– /₂. Следовательно,

AB = ВС = 2R sin x = 2R cos /₂.

Ответ. 2R cos /₂.

24 . 8 .

Если катеты основания обозначить через а и b, то боковая поверхность призмы равна

Нам известна площадь основания. Поэтому аb = 4. Преобразуем выражение для боковой поверхности так, чтобы участвовали только аb и а + b:

Мы получили монотонную функцию от а + b. Ее наименьшее значение достигается одновременно с наименьшим значением а + b. Поскольку а + b >= 2ab = 4, то равенство достигается, если а = b = 2.

Ответ. 2.

24.9. Так как правильный шестиугольник и квадрат — фигуры центрально-симметричные, то центр вписанного в шестиугольник квадрата должен совпадать с центром шестиугольника. Пусть K (рис. P.24.9) — одна из вершин квадрата, а M — центрально-симметричная ей точка многоугольника.

Обозначим через угол AOK. Тогда 

 По теореме синусов

Чтобы задача имела решение, должно быть OQ >= OK, т. е. sin (30° + ) <= sin . Так как угол а больше угла BOA, то >= 60°. Кроме того, можно считать, что <= 90°, т. е. 60° <= <= 90°. Чтобы для этих углов выполнялось условие

sin (30° + ) <= sin ,

необходимо и достаточно, чтобы 75° <= <= 90°. Из формулы для KO видно, что с увеличением диагональ квадрата уменьшается. Следовательно, нужно выбрать минимальным из возможных, т. е. = 75°. Тогда

, а сторона квадрата равна KO 2.

Ответ.

24.10. Обозначим данную дробь через y. Поскольку дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, меньше нуля, уравнения

равносильны. Чтобы x было действительным числом, необходимо и достаточно выполнение условия (3 - 4у)^2 - 4у(6у– 2) >= 0, т. е. 8у^2 + 16у–  9 <= 0. Ему удовлетворяют значения y, для которых -1 - ³⁴/₄ <= y <= -1 + ³⁴/₄. Правый конец интервала и будет наибольшим значением дроби.

Ответ. ³⁴/₄– 1.

24.11. Пусть а, b, с — ребра параллелепипеда. Тогда ограничения, указанные в условии задачи, запишутся в виде системы трех соотношений:

аbс = 7,2, аb + ас + bс <= 12, а + b >= 5.

Преобразуем второе соотношение, приняв во внимание, что а + b >= 5: