Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

16.13. Уравнение составлено таким образом, что решить его с помощью элементарных преобразований нельзя. Остаются два пути: либо графическое решение, либо оценка правой и левой частей уравнения. Второй путь предпочтительнее, так как левая часть легко оценивается, если положить 4^{cos^2 - x} = u.

16.14. Трехчлен x^2 - x + 0,5 всегда больше 0,25.

K главе 17

17.1. Данную систему решить относительно f(2x + 1)

и g(x– 1).

17.2. f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x(x– 3)^2,

f(f(x)) = f(x) (f(x) - 3)^2 = x(x– 3)^2(x^3 - 6x^2 + 9x– 3)^2.

17.3. Из второго уравнения найти 2 и подставить в первое. Воспользоваться условием, что x и у — целые числа.

17.4. Неравенство |x + 2| <= x + 2 удовлетворяется при всех x >= -2.

Уравнение следует преобразовать с помощью подстановки

2^{x– 1} = у, sin ^x/₂ = 2.

17.5. Найти первообразную F(x) и воспользоваться условием касания графиков функций f(x) и F(x) в некоторой точке F₀(x₀; у₀).

17.6. Данное неравенство равносильно такому:

Рассмотрите случаи: а) 0 < x– у < 1 и б) x– у > 1.

17.7. Изобразите на графике часть плоскости, координаты точек которой удовлетворяют первому неравенству, для каждого квадранта отдельно. Для первого квадранта это будут все его точки.

17.8. Начать нужно с определения координат точки E. Для этого придется записать уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁, у₁) и (x₂, у₂):

сначала для точек В и D, затем для точек А и C.

Решение системы этих двух уравнений даст нам координаты точки E.

17.9. Оба неравенства зависят от x + у и от у– x. Это подсказка побуждает ввести новые переменные u = x + у и v = у– x.

17.10. Если x₁ и x₂ — целые, то и а — целое. (Докажите.)

17.11. Это биквадратное уравнение, и оно сводится к квадратному подстановкой x^2 = у. Знак дискриминанта квадратного уравнения не позволяет ответить на вопрос о числе корней исходного уравнения. Нужно позаботиться, чтобы у >= 0.

17.12. Поскольку cos 8x = 1 - 2 sin^2 4x, исходное уравнение преобразуется в квадратное относительно у = sin 4x, где |у| <= 1.

17.13. Подставив любые значения x и а в данное уравнение, получим соответствующее единственное значение у. Таким образом, при любом фиксированном а любая прямая, параллельная оси у, пересечет кривую семейства, соответствующую этому а, в единственной точке. Это не означает, что через каждую точку плоскости (x, у) проходит кривая семейства. Не при любом у мы найдем точки плоскости (x, у), соответствующие данному семейству.

K главе 18

18.1. Если ввести в качестве неизвестных производительности труб, то получим три уравнения с четырьмя неизвестными (объем бассейна следует принять за единицу).

18.2. Если плечи весов равны l₁ и l₂, то можно вычислить массу P товара, отпущенного покупателю.

18.3. Эта задача менее всего похожа на «алгебраическую». Скорее, она напоминает рассуждения человека, пытающегося обнаружить факт на основе отрывочных сведений. Вначале следует обратить внимание на то обстоятельство, что листов в альбоме — число целое. После этого нужно использовать условие задачи с тем, чтобы ограничить рассмотрением возможные значения этой переменной.

18.4. Путь буксира изображен на рис. 1.18.4, где x — часть пути, которую прошел самостоятельно (т. е. без буксировки) первый понтон, а y — часть пути, которую прошел без буксировки второй понтон.

18.5. Так как некто родился в девятнадцатом веке, то неизвестны две последние цифры его года рождения. Если мы обозначим их через x и y, то сможем записать условия задачи в виде уравнений.