Структура реальности

Дойч Дэвид

Таким образом, и в чистой математике объяснение играет ту же самую первостепенную роль, какую оно играет в естественных науках. Объяснение и понимание мира – физического мира и мира математических абстракций – в обоих случаях является целью изучения. Доказательства и наблюдения – это всего лишь средства проверки наших объяснений.

Роджер Пенроуз извлек из результатов Гёделя еще более глубокий, радикальный и достойный Платона урок. Как и Платона, Пенроуза восхищает способность человеческого разума постигать абстрактные достоверные факты математики. Но в отличие от Платона, Пенроуз не верит в сверхъестественное и принимает как само собой разумеющееся, что мозг – часть естественного мира и имеет доступ только к этому миру. Таким образом, проблема для него встает даже острее, чем для Платона: как может нечеткий и ненадежный мир давать математическую уверенность такой нечеткой и ненадежной части себя, какой является математик? В особенности Пенроуза удивляет, каким образом нам удается почувствовать безошибочность новых корректных форм доказательства, которых, как уверяет Гёдель, бесконечно много.

Пенроуз все еще работает над подробным ответом, но заявляет, что само существование неограниченной математической интуиции такого рода фундаментально несовместимо

с существующей структурой физики и, в частности, с принципом Тьюринга. Вкратце его доказательство выглядит примерно так. Если принцип Тьюринга является истинным, то можно рассматривать мозг (как и любой другой объект) в качестве компьютера, выполняющего определенную программу. Взаимодействие мозга с окружающей средой складывается из входных и выходных данных. Теперь рассмотрим математика в процессе решения вопроса о том, обоснован или нет недавно предложенный вид доказательства. Принятие такого решения эквивалентно исполнению в мозге математика компьютерной программы проверки доказательства. Такая программа воплощает некий набор правил вывода Гильберта, который, в соответствии с теоремой Гёделя, вероятно, не может быть законченным. Более того, как я уже сказал, Гёдель предложил способ создания и доказательства истинного утверждения, которое эти правила не способны признать доказанным. Следовательно, математик, разум которого, по сути, является компьютером, применяющим эти правила, также никогда не сможет признать это утверждение доказанным. Затем Пенроуз предлагает показать этому самому математику данное утверждение и метод доказательства его истинности по Гёделю. Математик понимает доказательство. Оно все-таки самоочевидно корректно, поэтому математик, вероятно, сможет увидеть его корректность. Но это бы противоречило теореме Гёделя. Следовательно, где-то в рассуждении должно быть ложное допущение, и Пенроуз считает, что этим ложным допущением является принцип Тьюринга.

Большинство специалистов по информатике несогласны с Пенроузом, что слабое звено в этом рассуждении – это принцип Тьюринга. Они бы сказали, что математик из этого рассуждения на самом деле не сможет признать гёделевское утверждение доказанным. Может показаться странным, почему математик вдруг не сможет понять самоочевидное доказательство. Но взгляните на следующее утверждение:

Дэвид Дойч не может непротиворечиво признать, что данное утверждение является истинным.

Я стараюсь изо всех сил, но не могу непротиворечиво заключить, что оно истинно. Поскольку, если бы я сделал это, я бы пришел к выводу о том, что я не могу составить суждение о его истинности, и вступил бы в противоречие с самим собой. Однако вы ведь видите, что оно истинно, не так ли? Это демонстрирует, по крайней мере, возможность того, что утверждение будет недоступно пониманию для одного человека, но самоочевидно истинным для любого другого.

Так или иначе, Пенроуз надеется на новую фундаментальную теорию физики, которая заменит как квантовую теорию, так и общую теорию относительности. Она давала бы новые проверяемые предсказания, хотя, безусловно, согласовывалась бы и с квантовой теорией, и с теорией относительности во всех существующих наблюдениях. (Для этих двух теорий неизвестно экспериментальных контрпримеров.) Однако мир Пенроуза по своей сути сильно отличается от того, что описывает существующая физика. Фундаментальной структурой реальности в нем является то, что мы называем миром математических абстракций. В этом отношении Пенроуз, реальность которого включает все математические абстракции, но, вероятно, не все абстракции (вроде чести и справедливости), находится где-то между Платоном и Пифагором. То, что мы называем физическим миром, является для него вполне реальным (еще одно отличие от Платона), но каким-то образом это является частью, или эмерджентной формой, самой математики. Более того, в его мире не существует универсальности; в частности, не существует машины, способной воссоздать все возможные мыслительные процессы людей. Однако мир (в особенности, конечно, его математическое основание) все еще остается постижимым. Его постижимость гарантирована не универсальностью вычислений, а явлением, достаточно новым для физики (хотя и не для Платона): математические сущности напрямую взаимодействуют с человеческим мозгом через физические процессы, которые еще предстоит открыть. Таким образом, мозг, по Пенроузу, не занимается математикой, ссылаясь единственно на то, что мы сейчас называем физическим миром. Он имеет прямой доступ к реальности математических форм Платона и там может постигать математические истины (за исключением грубых ошибок) с абсолютной уверенностью.

Часто предполагают, что мозг может быть квантовым компьютером и что его интуиция, сознание и способности к решению задач могут зависеть от квантовых вычислений. Это может быть так, но я не знаю ни данных, ни убедительных аргументов в пользу этого. Я ставлю на то, что мозг, если его рассматривать как компьютер, является классическим компьютером. Но это вопрос, независимый от идей Пенроуза. Он не утверждает, что мозг – это новый вид универсального компьютера, который отличается от универсального квантового компьютера тем, что имеет больший репертуар вычислений, которые делает возможными новая, постквантовая физика. Он выступает в пользу новой физики, которая не будет поддерживать универсальность вычислений, так что по его новой теории вообще невозможно будет истолковать некоторые действия мозга как вычисления.

Должен признаться, для меня такая теория непостижима. Однако фундаментальные открытия всегда трудно представить себе до того, как они произойдут. Естественно, трудно оценить теорию Пенроуза, прежде чем он сформулирует ее полностью. Если теория со свойствами, на которые он надеется, в конце концов вытеснит квантовую теорию, или общую теорию относительности, или и ту и другую, будь то через экспериментальные проверки или предоставив более глубокий уровень объяснения, то каждый разумный человек захочет ее принять. И тогда нам предстоит увлекательный путь постижения нового мировоззрения, к принятию которого будет вынуждать нас объяснительная структура этой теории. Вероятно, такой взгляд на мир оказался бы весьма отличным от представленного мной в этой книге. Однако, если бы даже так все и случилось, я все равно не могу понять, каким образом удовлетворялась бы первоначальная мотивация этой теории – желание объяснить нашу способность понимать новые математические доказательства. Все равно останется

тот факт, что на протяжении всей истории вплоть до наших дней великие математики обладали различными конфликтующими интуитивными представлениями относительно корректности различных методов доказательства. Поэтому, даже если истинно то, что абсолютная физико-математическая реальность поставляет свои истины прямо в наш мозг, порождая интуитивные математические представления, математики не всегда способны отличить эти интуитивные представления от других, ошибочных интуиций и идей. К сожалению, нет ни колокольчика, который звонит, ни фонарика, который вспыхивает, когда мы понимаем действительно корректное доказательство. Порой мы можем ощутить такую вспышку в момент, когда хочется крикнуть «Эврика!» – и тем не менее ошибиться. И даже если теория предсказывает, что существует некий, не замеченный ранее физический индикатор, сопровождающий истинную интуицию (сейчас это становится в высшей степени неправдоподобно), мы бы определенно нашли его полезным, но это все равно не было бы равносильно доказательству того, что этот индикатор работает. Ничто не способно доказать, что однажды еще более совершенная физическая теория не вытеснит пенроузовскую и не покажет, что предполагаемый индикатор все-таки не был надежным и что существует лучший индикатор. Таким образом, даже если мы сделаем все возможные скидки предложению Пенроуза, если мы вообразим, что оно истинно, и взглянем на мир с его позиций, это все равно не поможет нам объяснить предполагаемую уверенность в знании, которое мы приобретаем, занимаясь математикой.

Я отразил лишь общий смысл аргументов Пенроуза и его оппонентов. Читатель поймет, что, в сущности, я на стороне его оппонентов. Однако даже если признать, что основанное на гёделевских идеях рассуждение Пенроуза не доказывает то, что оно претендует доказать, а предполагаемая им новая физическая теория вряд ли объяснит то, что она нацелена объяснить, тем не менее Пенроуз прав в том, что любое мировоззрение, основанное на существующей концепции научного рационализма, создает проблему для общепризнанных оснований математики (или, как сказал бы Пенроуз, наоборот). Это древняя проблема, которую поднял еще Платон, проблема, которая, как указывает Пенроуз, обостряется в контексте как теоремы Гёделя, так и принципа Тьюринга. Состоит она в следующем: если реальность состоит из физики и понимается с помощью естественнонаучных методов, то откуда возникает математическая уверенность? В то время как большинство математиков и специалистов по информатике считают уверенность в математической интуиции чем-то само собой разумеющимся и не воспринимают всерьез проблему примирения этого факта с научным мировоззрением, Пенроуз этой проблемой озабочен и предлагает решение. Его предложение предполагает постижимость мира, отвергает сверхъестественное, признает важность творчества для математики, приписывает объективную реальность как физическому миру, так и абстрактным сущностям, и включает объединение основ математики и физики. Во всех этих отношениях я на его стороне.

Поскольку попытки Брауэра, Гильберта, Пенроуза и всех остальных принять вызов Платона, как представляется, не принесли успеха, стоит снова взглянуть на предполагаемое ниспровержение Платоном идеи о том, что математическую истину можно получить с помощью естественнонаучных методов.

Прежде всего, Платон говорит нам, что, поскольку мы имеем доступ только (скажем) к несовершенным кругам, значит, через них мы не сможем получить знание о совершенных кругах. Но почему именно это невозможно? Точно так же можно было бы сказать, что мы не можем открыть законы движения планет, потому что у нас нет доступа к реальным планетам, а есть доступ только к их изображениям. (Инквизиция это и говорила, и я объяснил, почему она ошибалась.) Также можно было бы сказать, что невозможно построить точные станки, потому что первый такой станок пришлось бы строить с помощью неточных станков. Пользуясь преимуществами ретроспективного взгляда, можно заметить, что такая критика вызвана очень грубым – напоминающим индуктивизм – изображением устройства науки, что вряд ли можно считать удивительным, поскольку Платон жил задолго до появления того, что мы могли бы признать наукой. Если, скажем, единственный способ узнать что-либо о кругах из опыта заключается в том, чтобы исследовать тысячи физических кругов, а потом из собранных данных попытаться сделать какой-то вывод об их абстрактных евклидовых партнерах, то Платон прав. Но если мы создадим гипотезу о том, что реальные круги в строго определенном смысле похожи на абстрактные, и окажемся правы, то мы вполне можем узнать нечто об абстрактных кругах, глядя на реальные. В геометрии Евклида часто используют рисунки для формулировки геометрической задачи или ее решения. В таком методе описания существует возможность ошибки, если несовершенство кругов на рисунке оставит ложное впечатление – например, если кажется, что два круга касаются друг друга, хотя на самом деле этого не происходит. Но, поняв отношение между реальными и совершенными кругами, можно аккуратно исключить все подобные ошибки. А не понимая этого отношения, вообще практически невозможно понять геометрию Евклида.

Надежность знания о совершенном круге, которое можно получить из изображения круга, полностью зависит от точности гипотезы о том, что эти круги сходны между собой в определенных аспектах. Такая гипотеза в отношении физического объекта (рисунка) эквивалентна физической теории, и она не может быть известна с полной уверенностью. Но этот факт не отменяет (как утверждал Платон) возможность изучения совершенных кругов на основе опыта; он лишь делает невозможной полную уверенность. Это не должно тревожить никого из тех, кто ищет не уверенности, а объяснения.

Геометрию Евклида можно абстрактно сформулировать вообще без рисунков. Но способ, которым цифры, буквы и математические символы используются в символьном доказательстве, дает ничуть не большую уверенность, чем рисунок, и по той же самой причине. Символы – это тоже физические объекты (скажем, чернильные пятна на бумаге), которые обозначают абстрактные объекты. И опять мы полностью полагаемся на гипотезу о том, что физическое поведение символов соответствует поведению обозначаемых ими абстракций. Следовательно, надежность того, что мы узнаём, манипулируя этими символами, полностью зависит от точности наших теорий об их физическом поведении и о поведении наших рук, глаз и т. д., с помощью которых мы манипулируем этими символами и наблюдаем за ними. Хитроумные чернила, из-за которых случайный символ изменил свой внешний вид, когда мы за ним не следили, – скажем, в результате высокотехнологического розыгрыша с применением дистанционного управления, – могут вскоре ввести нас в заблуждение относительно того, что мы знаем «уверенно».