Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Отношение между временным интегралом электродвижущей силы и временным интегралом тока равно
E
dt
=
R
C
dt
+
l
A
+
1
2
C
–
1
12
l^2
R
dC
dt
+…
.
(19)
Если ток вначале имеет постоянное значение C, затем в течение некоторого времени увеличивается до величины C и затем остаётся
E
dt
=
R
C
dt
+
l
A
+
1
2
(C-C)
,
(20)
т.е. величина импульса электродвижущей силы такая же, как если бы ток был однороден по сечению провода.
О среднем геометрическом расстоянии между двумя фигурами на плоскости 1
1Trans. R. S. Edin., 1871-2,
691. При вычислении электромагнитного действия тока, текущего вдоль прямого проводника любого заданного сечения, на другой ток, текущий по параллельному проводнику, сечение которого также задано, мы должны найти интеграл
ln r
dx
dy
dx'
dy'
,
где dxdy есть элемент площади в первом сечении, dx'dy' - элемент площади во втором сечении, r - расстояние между этими элементами; интегрирование производится вначале по всем элементам первого сечения, а затем по всем элементам второго сечения.
Если мы введём теперь некоторую длину R, такую, что интеграл равен AA ln R, где A и A - площади двух сечений, то эта длина R останется неизменной, какую бы единицу длины мы ни приняли и какую бы систему логарифмов ни использовали.
Если предположить, что сечения разделены на элементы одинакового размера, то логарифм от R, умноженный на число пар элементов, будет равен сумме логарифмов расстояний между всеми парами элементов. Следовательно, величину R можно рассматривать как среднее геометрическое всех расстояний между парами элементов. Очевидно, что величина R должна быть промежуточной между наибольшим и наименьшим значениями r.
Если RA и RB– средние геометрические расстояния фигур A и B до третьей фигуры C, а RA+B– среднее геометрическое расстояние суммы этих двух фигур до C, то
(A+B) ln R
A+B
=
A ln R
A
+
B ln R
B
.
При помощи этого соотношения мы можем найти расстояние R для сложной фигуры по известным значениям R для её частей.
692. ПРИМЕРЫ
Рис. 41
(1). Пусть R - среднее расстояние от точки O до отрезка AB, а OP - перпендикуляр к AB [рис. 41]; тогда
AB(ln R+1)
=
AP ln OA
+
PB ln OB
+
OP
AOB
.
Рис. 42
(2).
ab
(2ln R+3)
=
(c^2-(a-b)^2)
ln
c^2+(a-b)^2
+
c^2ln c
+
+
(a^2-c^2)
ln
a^2+c^2
+
(b^2-c^2)
ln
b^2+c^2
–
–
c(a-b)
arctg
a-b
c
+
ac
arctg
a
c
+
bc
arctg
b
c
.
Рис. 43
(3). Для двух отрезков PQ и RS (рис. 43), направления которых пересекаются в точке O,
PQ·RS
(2ln R+3)
=
=
ln PR
(2OP·OR sin^2O-PR^2 cos O)
+
ln QS
(2OQ·OS sin^2O-QS^2 cos O)
–
ln PS
(2OP·OS sin^2O-PS^2 cos O)
–
ln QR
(2OQ·OR sin^2O-QR^2 cos O)
–
sin O
{
OP^2·
SPR
–
OQ^2·SQR
+
OR^2·
PRQ
+
OS^2·
PSQ
}.
Рис. 44
(4). Для точки O и прямоугольной площадки ABCD (рис. 44). Пусть OP, OQ, OR, OS перпендикулярны к его сторонам, тогда
AB·AD(2ln R+3)
=
2OP·OQ ln OA
+
+
2OQ·OR ln OB
+
2OR·OS ln OC
+
+
2OS·OP ln OD
+
OP^2·
DOA
+
+
OQ^2·
AOB
+
OR^2·
BOC
+
OS^2·
COD
.
(5). Нет необходимости в том, чтобы две фигуры были различны, ибо мы можем найти среднее геометрическое расстояние между каждой парой точек одной и той же фигуры; так, для отрезка прямой длины a
ln
R
=
ln a
–
3
2
,
или
R
=
ae
– 3/2
,
R
=
0,22313a